Resposta:

Explicação passo a passo:

Vou resolver os problemas um por um:

Determinar o baricentro do triângulo de vértices A(4, 2), B(-2, 3) e C(-5, 1):

O baricentro (ou centro de gravidade) de um triângulo é dado pelas coordenadas médias dos vértices. Para calcular o baricentro (G), você soma as coordenadas x e y de cada vértice e divide por 3 (o número de vértices).

Coordenada x do baricentro (G) = (4 - 2 - 5) / 3 = -3/3 = -1

Coordenada y do baricentro (G) = (2 + 3 + 1) / 3 = 6/3 = 2

Portanto, o baricentro G do triângulo ABC é (-1, 2).

Calcular o baricentro G do triângulo de vértices A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3):

Coordenada x do baricentro (G) = (1 + 3 + 5) / 3 = 9/3 = 3

Coordenada y do baricentro (G) = (1 - 1 + 3) / 3 = 3/3 = 1

Portanto, o baricentro G do triângulo ABC é (3, 1).

Calcular o valor de a, sabendo que M(1, 3) é o ponto médio do segmento de reta de extremidades A(a, 4) e B(-1, 2):

A fórmula para o ponto médio é (x1 + x2) / 2 = x do ponto médio e (y1 + y2) / 2 = y do ponto médio.

Nesse caso, temos:

(x1 + x2) / 2 = 1

(a - 1) / 2 = 1

Resolvendo para a:

a - 1 = 2

a = 2 + 1

a = 3

Portanto, a = 3.

Calcular a distância entre os pontos dados:

a) A(3, 7) e B(1, 4):

Distância = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Distância = √[(1 - 3)² + (4 - 7)²]

Distância = √[(-2)² + (-3)²]

Distância = √[4 + 9]

Distância = √13 unidades

Repita o mesmo processo para os outros itens.

Determinar o ponto médio do segmento de extremidades:

a) A(-1, 6) e B(-5, 4):

Ponto médio = ((-1 - 5) / 2, (6 + 4) / 2) = (-3, 5)

Repita o mesmo processo para os outros itens.

Calcular as coordenadas do ponto B(x, y) que é a outra extremidade do segmento, sabendo que A(-2, -2) é uma das extremidades e M(3, -2) é o ponto médio:

(x1 + x2) / 2 = x do ponto médio

(-2 + x) / 2 = 3

Resolvendo para x:

-2 + x = 2 * 3

x = 6 - 2

x = 4

(y1 + y2) / 2 = y do ponto médio

(-2 + y) / 2 = -2

Resolvendo para y:

-2 + y = 2 * (-2)

y = -4 - 2

y = -6

Portanto, as coordenadas do ponto B são (4, -6).

Sendo G(1, 6) o baricentro do triângulo ABC em que A(2, 5) e B(4, 7), para determinar o vértice C, você pode usar a fórmula do baricentro:

Coordenada x do vértice C = 3 * Coordenada x do baricentro - Coordenada x de A - Coordenada x de B

Coordenada y do vértice C = 3 * Coordenada y do baricentro - Coordenada y de A - Coordenada y de B

x de C = 3 * 1 - 2 - 4 = 3 - 2 - 4 = -3

y de C = 3 * 6 - 5 - 7 = 18 - 5 - 7 = 6

Portanto, o vértice C é (-3, 6).

Calcular o perímetro do triângulo de vértices P(0, 0), Q(0, 5) e R(6, 0):

Perímetro = soma das distâncias entre os vértices.

Perímetro = PQ + QR + RP

PQ = √[(0 - 0)² + (5 - 0)²] = √(0 + 25) = √25 = 5

QR = √[(0 - 6)² + (0 - 5)²] = √(36 + 25) = √61

RP = √[(6 - 0)² + (0 - 0)²] = √(36 + 0) = √36 = 6

Perímetro = 5 + √61 + 6 ≈ 5 + 7.81 + 6 ≈ 18.81 unidades

O baricentro desse triângulo é a média das coordenadas dos vértices: ((0 + 0 + 6) / 3, (0 + 5 + 0) / 3) = (2, 5/3)

Verificar se os pontos A(2, 7), B(-3, 0) e C(16, 5) são colineares usando a regra de SARRUS:

A regra de SARRUS é usada para determinar se três pontos são colineares calculando a determinante de uma matriz:

| x1 y1 1 |

| x2 y2 1 |

| x3 y3 1 |

Calcule a determinante da matriz com os pontos A, B e C:

| 2 7 1 |

| -3 0 1 |

| 16 5 1 |

Determinante = (201 + 7116 + 1*(-3)5) - (1016 + (-3)71 + 25*1)

Determinante = (0 + 112 + (-15)) - (0 + (-21) + 10)

Determinante = (97) - (-11)

Determinante = 97 + 11

Determinante = 108

Se a determinante for igual a zero, os pontos são colineares. Nesse caso, a determinante é 108, que não é igual a zero, então os pontos A, B e C não são colineares.

Verificar se os pontos A(-1, -2), B(1, 2) e C(3, 6) estão alinhados usando a regra de SARRUS:

| -1 -2 1 |

| 1 2 1 |

| 3 6 1 |

Determinante = (-121 + (-2)13 + 116) - (123 + 1*(-2)*(-1) + (-1)16)

Determinante = (-2 - 6 + 6) - (6 + 2 + (-6))

Determinante = (-2) - (-2)

Determinante = -2 + 2

Determinante = 0

A determinante é igual a zero, o que significa que os pontos A, B e C estão alinhados (colineares).