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Resposta: Após os devidos cálculos efetuados, podemos concluir que o valor de "x" é 20.

O exercício desde o início diz que "x" litros de vinho são retirados de um barril de 100 litros e "x" litros de água são adicionados ao mesmo barril.

O volume de vinho neste momento é igual ao volume total do barril menos o volume de vinho retirado anteriormente, enquanto o volume de água neste momento é igual a "x" pois anteriormente o barril não continha água.

[tex]\boxed{Volume~de~vinho~=~100~-~x}\\\\\\ \boxed{Volume~de~\'agua~=~x}[/tex]

O volume do barril não mudou, pois o volume de vinho retirado do barril foi substituído pelo mesmo volume de água. Vamos encontrar a fração de água e vinho presente no barril. A fração de vinho e água presente no barril é igual ao volume de vinho ou água dividido por 100 L (volume total do barril), fazendo isso temos:

[tex]\boxed{Frac_{\!\!,}\tilde{a}o~de~vinho~=~\dfrac{100~-~x}{100}}\\\\\\ \boxed{Frac_{\!\!,}\tilde{a}o~de~\'agua~=~\dfrac{x}{100}}[/tex]

Da mistura resultante são retirados "x" litros, se forem retirados "x" litros de mistura, são retirados "x" litros de água e "x" litros de vinho. A fração de vinho e água é a mesma, pois ainda não houve diluição entre a água e o vinho.

Multiplicando a fração de água e vinho pelo volume de água e vinho retirado, temos que o volume de água e vinho neste exato momento é igual a:

[tex]Volume~de~vinho~=~\dfrac{100~-~x}{100}\cdot\left(100~-~x\right)\\\\\\ \boxed{ Volume~de~vinho~=~\dfrac{\left(100~-~x\right)^2}{100}}\\\\\\Volume~de~\'agua~=~\dfrac{x}{100}\cdot\left(100~-~x\right)\\\\\\ \boxed{Volume~de~\'agua~=~\dfrac{100x~-~x^2}{100}}[/tex]

Depois que outros "x" litros de água são adicionados, portanto, o volume do barril não muda e permanece o mesmo. Somando esses "x" litros de água na equação que representa o volume de água no barril, temos:

[tex] Volume~de~\'agua~=~\dfrac{100x~-~x^2}{100}~+~x\\\\\\ Volume~de~\'agua~=~\dfrac{100x~-~x^2}{100}~+~\dfrac{100x}{100}\\\\\\ Volume~de~\'agua~=~\dfrac{100x~-~x^2~+~100x}{100}\\\\\\ \boxed{Volume~de~\'agua~=~\dfrac{200x~-~x^2}{100}}[/tex]

O exercício menciona finalmente neste momento que o volume de água e vinho presentes no barril é igual a 64 litros de vinho e 36 litros de água. Então agora temos:

[tex] \boxed{ 64~Litros~=~\dfrac{\left(100~-~x\right)^2}{100}}\\\\\\ \boxed{36~Litros~=~\dfrac{200x~-~x^2}{100}}[/tex]

As duas equações são de segundo grau, portanto teremos duas soluções diferentes. Se tentarmos resolver a primeira equação, temos:

[tex] 64~~=~\dfrac{\left(100~-~x\right)^2}{100} \\\\\\ \dfrac{100~-~x}{10}~=~\pm8\\\\\\ 100~-~x~=~\pm80[/tex]

A partir daqui chegamos à famosa conclusão de que o valor de "x" pode ser:

[tex] 100~-~x~=~80\quad ou\quad100~-~x~=~-80\\\\\\ -x~=~-20\quad ou\quad -x~=~-180\\\\\\ \boxed{\bf x~=~20~Litros}\quad ou\quad \boxed{\bf x~=~180~Litros}[/tex]

Ambas as soluções são válidas, mas lembremos que o volume total do barril é igual a 100 litros, portanto não podemos retirar 180 litros de vinho ou água. Então o valor de "x" é 20 litros, verificando esse valor pela equação que representa o volume de água, temos:

[tex] 36~=~\dfrac{200\cdot20~-~\left(20\right)^2}{100}\\\\\\ 36~=~\dfrac{4.000~-~400}{100}\\\\\\ 36~=~\dfrac{3.600}{100}\\\\\\ \boxed{\sf 36~=~36}~~\Rightarrow~Verdadeiro [/tex]

Bons estudos!