Réponse :

5 nombres entiers consécutifs sont tels que la somme des carrés des 2 plus grands est égale à la somme des carrés des 3 autres

on choisi pour inconnue le nombre n₁ qui désigne le premier nombre de cette suite;

traduire la situation par une équation de degré 2 d'inconnue n₁

soient les 5 nombres entiers consécutifs  n₁ ; (n₁+1) ; (n₁+2) ; (n₁+3) ; (n₁+4)

on écrit l'équation suivante:

(n₁ + 3)² + (n₁ + 4)² = n₁² + (n₁+1)² + (n₁+2)²

n₁² + 6 n₁ + 9 + n₁² + 8 n₁ + 16 = n₁² + n₁² + 2 n₁ + 1 + n₁² + 4 n₁ + 4

2 n₁² + 14 n₁ + 25 = 3 n₁² + 6 n₁ + 5

n₁² - 8 n₁ - 20 = 0

Δ = 64 + 80 = 144 ⇒ √144 = 12

n₁ = 8+12/2 = 10  

n₂ = 8 - 12/2 = - 2

Ecrire les 4 autres équations que l'on peut obtenir en prenant pour inconnue successivement n₂ le 2ème nombre de la suite

n₃ ; le 3ème nombre de la suite

n₄ ; //  4ème    //           //     //

n₅ ; //   5ème    //           //     //

n₁ ; n₂ ; (n₂+1) ; (n₂+2) ; (n₂+3)

(n₂+3)² + (n₂+2)² = n₁² + n₂² + (n₂+1)²

n₂²+6 n₂ + 9 + n₂² + 4 n₂ + 4 = n₁² + n₂² + n₂² + 2 n₂ + 1

2 n₂² + 10 n₂ + 13 = 2 n₂² + 2 n₂ + n₁² + 1

8 n₂ + 13 = n₁² + 1    ⇔ 8 n₂ + 13 = 10² + 1  = 88 ⇒ n₂ = 88/8 = 11    

n₁ ; n₂ ; n₃ ; (n₃+1) ; (n₃+2)

(n₃+2)²+(n₃ + 1)² = n₁²+n₂² + n₃²

n₃²+ 4 n₃ + 4 + n₃² + 2 n₃ + 1 =  n₁²+n₂² + n₃²

2 n₃² + 6 n₃ + 5 = n₃² + n₁²+ n₂²

n₃² + 6 n₃ + 5 - (n₁²+n₂²) = 0  ⇔ n₃² + 6 n₃ + 5 - (100 + 121) = 0

⇔ n₃² + 6 n₃ - 216 = 0

Δ = 36 + 864 = 900 ⇒ √900 = 30

n₃ = - 6 + 30/2 = 12

n₁ ; n₂ ; n₃ ; n₄ ; (n₄+1)

n₄² + (n₄+ 1)² = n₁²+ n₂² + n₃²

n₄² + n₄² + 2 n₄ + 1 = n₁²+ n₂² + n₃²

2 n₄² + 2 n₄ + 1 =   n₁²+ n₂² + n₃² ; je vous laisse déterminer n₄

n₁ ; n₂ ; n₃ ; n₄ ; n₅

n₅² + n₄² = n₁²+ n₂² + n₃²  d'où  n₅² = n₁²+ n₂² + n₃² - n₄²  

c'est la dernière équation qu'il faut choisir

Explications étape par étape