Réponse :

C11 en utilisant le développement de (a-b)² , développer  (Ф - 1)² et

(Ф -1/2)²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

(Ф - 1)² = Ф² - 2 Ф + 1

(Ф - 1/2)² = Ф² - Ф + 1/4

C12 en déduire une écriture de Ф² - Ф - 1  sous la forme  A² - B

Ф² - Ф - 1 = (Ф - 1/2)² - 5/4

C13 en utilisant la factorisation de a²-b², factoriser (x-y)² - 1/4

a²-b² = (a+b)(a-b)

(x - y)² - (1/2)² = (x - y + 1/2)(x - y - 1/2)

C14 en déduire la forme factorisée de : Ф² - Ф - 1

Ф² - Ф - 1 = (Ф - 1/2)² - 5/4 = (Ф-1/2)² -(√5/2)² = (Ф - 1/2 + √5/2)(Ф-1/2 -√5/2)

= (Ф - (1 - √5)/2)(Ф - (1+√5)/2)

II) calcul de Ф

Ф² - Ф - 1 = 0 ⇔  (Ф - (1 - √5)/2)(Ф - (1+√5)/2) = 0

Ф = (1 + √5)/2   solution positive  car il représente le nombre d'or qui est toujours positif  

Explications étape par étape