Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir, plusieurs méthodes possibles de résolution, dont certaines plus optimales. On considère n, un entier naturel, alors il est évident que :

Puis, par décroissance de la fonction inverse :

Ensuite, on multiplie par n, l'inégalité ne sera plus forcément stricte, car si n vaut 0, on peut avoir égalité des termes :

Conservons scrupuleusement cette inégalité, et étudions celle-ci en 2 parties. On commence par le sens "inférieur ou égal".

Chaque terme est inférieur ou égal à donc, si on somme tous les termes inférieurs à celui-ci, par rapport à lui :

Cette somme comporte n termes, le membre de droite sera donc multiplié par n :

A présent, dans l'autre sens, chaque terme est supérieur ou égal à , un raisonnement analogue nous conduit à écrire :

Conclusion :

Pour déterminer cette limite, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré, dans chaque membre :

Le terme de gauche, ainsi que celui de droite, tendent tous les deux vers 1. En vertu du théorème des gendarmes, on conclut que Un tend vers 1 en + infini.