Bonjour,

1) Nous allons démontrer par récurrence que pour tout n entier non nul

Initialisation

C'est vrai au rang n = 1 car

Hérédité

Supposons que cela soit vrai au rang p (entier non nul) et montrons que cela reste vrai au rang p+1

Par hypothèse de récurrence nous avons

et donc

Donc c'est vrai au rang p+1

Conclusion

Nous venons démontrer par récurrence que pour tout n entier non nul

2)

Etudions la fonction f qui à x réel , x>-1, associe

f est une fonction croissante et

Ainsi pour

Nous pouvons donc démontrer par récurrence que tous les termes de la suite vérifient, pour n entier non nul

Et alors

Car le signe du trinome est positif entre les racines

Ainsi la suite (un) est croissante

3) la suite (un) est croissante et majorée donc elle converge

et sa limite est en fait

Merci