salut !svp aidez moi à résoudre ce Devoir !Et merci beaucoup..... Pergunta de ideia dejasmina2004

jasmina2004 @jasmina2004

June 2021 1 186 Report

salut !
svp aidez moi à résoudre ce Devoir !
Et merci beaucoup.

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Macksiize

Bonsoir,

1) On le démontre par récurrence :

Considérons la proposition $P_{n}$ : " $\forall n \in\mathbb{N}, U_{n}\geqslant3$ ".

Initialisation :

Pour n=0, on a un problème, une erreur dans ton énoncé ( $U_{0}=2$ ) mais bon initialisons pour n=1 :

$U_{1}=\frac{4-3\times2+6}{2-1}=4>0$ . Donc $P_{1}$ est vérifiée.

Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$ .

Supposons que $P_{n}$ est vraie. On a :

$U_{n}\geqslant3$ .

Posons $f:x\in\mathbb{R}\mapsto\frac{x^{2}-3x+6}{x+1}$ . Cette fonction est derivable sur son ensemble de definition et on a :

$f'(x)=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^{2}-3x)}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}>0, \forall x>3$ .

Donc cette fonction est croissante pour x>3.

On a donc :

$U_{n}\geqslant3 \iff f(U_{n})\geqslant f(3) \iff U_{n+1}\geqslant3$ .

■.

2) On étudie $U_{n+1}-U_{n}$ :

$U_{n+1}-U_{n}=\frac{U_{n}^{2}-3U_{n}+6}{U_{n}-1}-U_{n}=\frac{-4U_{n}+6}{U_{n}-1}$ car $U_{n}\geqslant3\iff-4U_{n}+6\leqslant0$ .

Donc $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est decroissante. On en déduit donc (comme elle est minorée par $3$ ), qu'elle converge d'après le théorème de la convergence monotone.

3) $f$ est continue sur $[3;+\infty[$ car derivable sur cet intervalle. De plus, $U_{n}$ converge vers $l\geqslant3$ . Donc d'après le théorème du point fixe, $l$ est solution de l'équation $f(x)=x$ . Résolvons-la :