syogier Bonjour,
la fonction valeur absolue retourne toujours une valeur positive, alors f est définie sur |R
 x:              ] -∞          -4                 0                  +∞[
 x                       -                -          0          +
x+4                    -        0     +                      +
x(x+4)               +        0      -          0          +
x²+4x                +        0      -          0          +
|x²+4x| =         x²+4x          -x²-4x              x²+4x

lim f quand x→ +∞  =  lim x+1  + lim √x²+4x = +∞ +∞ = +∞

lim f quand x →-∞  =  lim x+1  + lim √x²+4x = -∞ +∞  cas indéterminé
on multiplie par la partie conjuguée :
lim x→-∞ = (x+1+√x²+4x) (x+1 - √x²+4x)   / (x+1-√x²+4x) =
(x+1)² - (x²+4x)   / (x+1- √x² +4x²/x) = x²+1+2x-x²-4x  /(x+1-√x²(1+4/x))
= -2x+1 / (x+1-|x| √1+4/x) or quand x →-∞ |x| =-x
= -2x +1 / (x+1+x√1+4/x)   or lim 4/x quand x→ -∞ = 0
il reste  : -2x+1 /2x+1 et lim  f quand x →-∞  = -1
dérivabilité en 0+
f(x)-f(0) / x-0 =  (x+ √x²+4x)    / x  avec x tend vers 0 , alors  0/0 même principe que la limite  et on obtient 1+ √1+4/x  donc lim quand x tend vers 0+ est + ∞
dérivabilité en 0-  =  x+√-x²-4x  /x  on obtient 1+ √1-4/x , lim = +∞
f n'est pas dérivable en 0
dérivabilité en -4 -  :  x+4 +√x²+4x    /x+4    ça donne 0/0 
 on obtient 1 - √(-x) /√-x-4, alors lim quand x tend vers -4- = -∞
idem en -4+  , f n'est pas dérivable en -4
x ∈ ]-∞ ; -4 [ ∪ ]0 ; +[ , f'(x) = 2x+4 / 2√x²+4x +1 = (x+2) / √x²+4x   +1 =
x+2 + √x²+4x  / √x²+4x
f' n'est pas définie en 0 et -4,
x ∈]-4 ; 0[ , f'(x) = -2x-4 / 2√-x²-4x  + 1 = (-x-2 ) / √-x²-4x  +1 =
 -x-2 +√-x²-4x / √-x²-4x
Le signe de f' sur  ]-∞ ; -4 [ :
f'(x) =  x+2 + √x²+4x  / √x²+4x  , le dénominateur est positif,
x+2 + √x²+4x > 0 => √x²+4x > -x-2 , or sur l'intervalle -x-2 > 0 car x <-2
x²+4x > (-x-2)² => x² +4x > x² +4 +4x, ce qui est faux donc f'(x)  est négatif
 Le signe de f' sur ] 0 ; +∞[      x > -2 alors -x-2 <0 donc comme √x²+4x >0, alors f'(x) est positif
Le signe de f'(x) sur ] -4 ; 0[
f'(x) = -x-2 +√-x²-4x / √-x²-4x, le dénominateur est positif
 -x-2 +√-x²-4x > 0 => √-x²-4x > x+2
si x <-2 , alors f'(x) est positif
si x > -2 , alors -x²-4x > (x+2)² =>  -x²-4x > x² +4 +4x => 2x²+8x+4 < 0 =>
x² +4x+2 < 0   2 racines  x1 = -2-√2 non valable et x2 = -2+√2≈-0.59
f'(x) est négatif entre -2+√2 et 0

en résumé :
x :        -∞                  -4                -2        -2+√2                  0                      +∞

f'(x)                    -        ||          +            +                -             ||                +           

f est croissante sur ] -4  ; -2+√2[  ∪ ]0 ; +∞[