1) quelle est la situation la plus avantageuse

fabriquer et vendre 4000 Wuppies ⇒ 8 x 4000 = 32 000 €

fabriquer et vendre 12 000    //        ⇒ 8 x 12000 = 96 000 €

la seconde situation est la plus avantageuse

2) a) montrer que pour tout x ∈ [0 ; 15]   B(x) = - 0.5 x² + 7.4 x - 8.16

B(x) = R (x) - C(x) = 8 x - (0.5 x² + 0.6 x + 8.16)

                        = 8 x - 0.5 x² - 0.6 x - 8.16

                        = - 0.5 x² + 7 .4 x - 8.16

b) étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice

B(x) = - 0.5 x² + 7 .4 x - 8.16 = 0

Δ = 7.4² - 4*0.5*8.16 = 54.76 - 16.32 = 38.44 ⇒ √38.44 = 6.2

x1 = - 7.4 + 6.2)/2*(- 0.5) = - 1.2/- 1 = 1.2

x2 = - 7.4 - 6.2)/- 1 = 13.6

x      0               1.2               13.6               15

B(x)          -          0        +        0        -

la plage de production qui permet à l'entreprise de faire un bénéfice est

             1.2* 1000 ≤ C ≤ 13.6* 1000

                       1200 ≤  C ≤ 13600

c) étudier les variations de la fonction B  sur [0 ; 15]

B(x) = - 0.5 x² + 7 .4 x - 8.16

calculons la dérivée de la fonction B

B '(x) = - x + 7.4 ⇒ B '(x) = 0 = - x + 7.4 ⇒ x = 7.4

B(7.4) = - 0.5 (7.4)² + 7 .4*7.4 - 8.16 = - 27.38 + 54.76 - 8.16 = 19.22

x       0                       7.4                  15

B(x) - 8.16→→→→→→→→→  19.22 →→→→→→ - 9.66

              croissante             décroissante

en déduire le nombre de peluches que doit vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal

le nombre est de 7.4 * 1000 = 7400 peluches

quel est alors le montant en euros de ce bénéfice

c'est  19.22 * 1000 = 19220 €