Seja a equação diferencial , podemos afirmar que:
I. Se G(t)=0 é uma equação homogênea;
II. Se G(t)≠0 é uma equação não homogênea;
III. Se G(t)≠0, Y1 e Y2 são soluções da equação, então L[Y1−Y2](t) também é solução;
IV. Se G(t)=0, Y1 e Y2 são soluções da equação, então L[Y1−Y2](t) também é solução.
I. Se G(t)=0 é uma equação homogênea;
II. Se G(t)≠0 é uma equação não homogênea;
III. Se G(t)≠0, Y1 e Y2 são soluções da equação, então L[Y1−Y2](t) também é solução;
IV. Se G(t)=0, Y1 e Y2 são soluções da equação, então L[Y1−Y2](t) também é solução.
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Resposta:
Explicação passo a passo:Para a equação diferencial linear de segunda ordem
�
[
�
]
(
�
)
=
�
(
�
)
L[y](t)=G(t), onde
�
L é um operador diferencial de segunda ordem, podemos avaliar as afirmativas:
I. Se
�
(
�
)
=
0
G(t)=0, é uma equação homogênea.
Verdadeiro. Uma equação diferencial é homogênea quando a função
�
(
�
)
G(t) do lado direito é igual a zero.
II. Se
�
(
�
)
≠
0
G(t)
=0, é uma equação não homogênea.
Verdadeiro. Uma equação diferencial é não homogênea quando a função
�
(
�
)
G(t) do lado direito não é igual a zero.
III. Se
�
(
�
)
≠
0
G(t)
=0,
�
1
Y
1
e
�
2
Y
2
são soluções da equação, então
�
[
�
1
−
�
2
]
(
�
)
L[Y
1
−Y
2
](t) também é solução.
Falso. Quando
�
(
�
)
≠
0
G(t)
=0,
�
1
Y
1
e
�
2
Y
2
são soluções de
�
[
�
]
(
�
)
=
�
(
�
)
L[y](t)=G(t), então
�
[
�
1
−
�
2
]
(
�
)
L[Y
1
−Y
2
](t) não será necessariamente igual a zero. Portanto, essa afirmativa não é verdadeira.
IV. Se
�
(
�
)
=
0
G(t)=0,
�
1
Y
1
e
�
2
Y
2
são soluções da equação, então
�
[
�
1
−
�
2
]
(
�
)
L[Y
1
−Y
2
](t) também é solução.
Verdadeiro. Se
�
(
�
)
=
0
G(t)=0, a equação diferencial é homogênea, e
�
1
Y
1
e
�
2
Y
2
são soluções dela. Portanto,
�
[
�
1
−
�
2
]
(
�
)
=
�
[
�
1
]
(
�
)
−
�
[
�
2
]
(
�
)
=
0
−
0
=
0
L[Y
1
−Y
2
](t)=L[Y
1
](t)−L[Y
2
](t)=0−0=0, o que significa que
�
[
�
1
−
�
2
]
(
�
)
L[Y
1
−Y
2
](t) é a solução trivial da equação homogênea.
Resumindo:
I. Verdadeiro
II. Verdadeiro
III. Falso
IV. Verdadeiro