Resposta:

A = 1/12

Explicação passo a passo:

tirei 10

A alternativa C é a correta. A área da região delimitada pelas funções f(x) = x² e g(x) = x³ no intervalo [0,1] é igual a 1/12.

Integral Definida

O significado geométrico de uma integral definida é a área embaixo do gráfico de uma função. Assim, o módulo da integral de uma função é numericamente igual à área embaixo de uma função.

No intervalo ]0,1[, para um mesmo valor de x, vale g(x) > f(x). Assim, para determinar a área entre as funções g(x) e f(x) devemos calcular:

[tex]\boxed{A = \int_{a}^{b} g(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx }[/tex]

Dado que o intervalo de integração é de [0,1], a área A é igual a:

[tex]A = \int_{a}^{b} g(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx \\\\A = \int_{0}^{1} x^3 dx - \int_{0}^{1} x^2 dx \\\\A = [\frac{x^4}{4} ]_0^1 - [\frac{x^3}{3} ]_0^1 \\\\A = [\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}] - [\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}] \\\\A = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \\\\\boxed{\boxed{A = \frac{1}{12} }}[/tex]

Assim, a alternativa C é a correta.

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Espero ter ajudado, até a próxima :)