Para que o espaço gerado [S] seja igual a R^3, ele deve conter um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que possa ser usado para construir qualquer vetor em R^3 através de codificação linear. Vamos analisar cada opção:
a) [S] = [(1,1,0), (0,0,1)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (0,1,0).
b) [S] = [(1,2,0), (0,-1,1), (0,1,0)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (1,0,0).
c) [S] = [(1,0,1), (1,0,0)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (0,1,0).
d) [S] = [(1,1,1)] - Este vetor sozinho definitivamente não forma uma base para R^3, pois não pode gerar todos os vetores em R^3.
e) [S] = [(1,2,1), (0,1,0), (1,1,1)] - Esses vetores formam uma base para R^3, pois eles são linearmente independentes e podem gerar todos os vetores em R^3 através de codificação linear.
Portanto, a única opção em que [S] = R^3 é a opção:
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Resposta: Letra D
Explicação passo a passo:
Para que o espaço gerado [S] seja igual a R^3, ele deve conter um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que possa ser usado para construir qualquer vetor em R^3 através de codificação linear. Vamos analisar cada opção:
a) [S] = [(1,1,0), (0,0,1)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (0,1,0).
b) [S] = [(1,2,0), (0,-1,1), (0,1,0)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (1,0,0).
c) [S] = [(1,0,1), (1,0,0)] - Esses vetores não formam uma base para R^3, pois não podem gerar o vetor (0,1,0).
d) [S] = [(1,1,1)] - Este vetor sozinho definitivamente não forma uma base para R^3, pois não pode gerar todos os vetores em R^3.
e) [S] = [(1,2,1), (0,1,0), (1,1,1)] - Esses vetores formam uma base para R^3, pois eles são linearmente independentes e podem gerar todos os vetores em R^3 através de codificação linear.
Portanto, a única opção em que [S] = R^3 é a opção:
D) [S] = [(1,2,1), (0,1,0), (1,1,1)]