Resposta:

Vamos analisar cada uma das afirmações:

1) dim(N(T)) = 2

Isso significa que a dimensão do núcleo de T é 2. No entanto, como é dado que Im(T) está contido em N(T), isso implica que a dimensão do núcleo deve ser maior ou igual à dimensão da imagem. Portanto, essa afirmação não é verdadeira.

2) dim(N(T)) = dim (Im(T))

Isso implicaria que a dimensão do núcleo de T é igual à dimensão da imagem de T. Como a afirmação diz que Im(T) está contido em N(T), isso não pode ser verdade, pois a dimensão da imagem seria menor ou igual à dimensão do núcleo. Portanto, essa afirmação também não é verdadeira.

III) dim(N(T)) + dim(im(T)) = 3

Isso significa que a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual a 3. Isso poderia ser verdadeiro se a dimensão do núcleo fosse 1 e a dimensão da imagem fosse 2, pois 1 + 2 = 3. Portanto, essa afirmação pode ser verdadeira.

IV) dim(Im(T)) = 2

Isso significa que a dimensão da imagem de T é 2. Se a dimensão do núcleo for 1, isso é possível, pois 1 + 2 = 3, que é a dimensão do espaço de partida R³. Portanto, essa afirmação pode ser verdadeira.

V) dim(N(T)) = 1

Isso significa que a dimensão do núcleo de T é 1. Se a dimensão da imagem for 2, isso é possível, pois 1 + 2 = 3, que é a dimensão do espaço de partida R³. Portanto, essa afirmação pode ser verdadeira.

Portanto, as afirmações III, IV e V podem ser verdadeiras. A alternativa correta é a (III, IV, V).