Foi possível mostrar que que logba é um número irracional.

Logaritmo

Supondo [tex]\log _a\left(b\right)[/tex] é um número racional [tex]\dfrac{p}{q}[/tex] onde a e b são inteiros positivos tais que a é o produto [tex]r_1r_2.......r_n[/tex] de n primos distintos. Sem perda de generalidade, seja

[tex]\dfrac{p}{q} > 0[/tex]

Observação: se p/q é negativo, então b não é um inteiro.

de modo que p e q são ambos inteiros positivos. Então:

[tex]qlog_ab[/tex]

[tex]log_a\left(b^q\right)=p\:\Rightarrow b^q=a^p[/tex]

[tex]b^q=\left(r_1\right)^p\left(r_2\right)^p.....\left(r^n\right)^p[/tex]

Pelo fato de Z é um domínio de fatoração único, b deve então ser igual a

[tex]\left(r_1\right)^{s_1}\left(r_2\right)^{s_2}.....\left(r_n\right)^{s_n}[/tex]

onde todos os si são positivos. Por isso:

[tex]\left(r_1\right)^{qs_1}\left(r_2\right)^{qs_2}.....\left(r_n\right)^{qs_n}=\left(r_1\right)^p\left(r_2\right)^p.....\left(r^n\right)^p[/tex]

o que significa que s1 = s2 = ⋯ = sn. Daí b = (r1r2r3⋯rn)s = as, provando que b é uma potência de a

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