Bonsoir :)

Réponse en explications étape par étape :

# Exercice : Sur la figure suivante, ABCD est un carré, E est sur [AD) et F est sur [AB). On cherche à savoir si les points E, C et F sont alignés :

- Questions :

1. On note x la mesure de BCF et y la mesure de CFB. Calculer x + y :

a. Calcul de BCF et CFB :

On considère le triangle CBF rectangle en B :

Alors : CBF = B = 90°.

Et sachant que la somme des angles dans un triangle est égale à 180° :

Alors : CBF + CFB + BCF = 180°

            90° + CFB + BCF = 180°

                      CFB + BCF = 180° - 90°

                      CFB + BCF = 90°

Et sachant que : CFB = BCF :

Alors :            CFB + BCF = 90°

                               2CFB = 90°

                                 CFB = 90°/2

                                 CFB = 45°

===> D'où BCF = CFB = 45° = x = y.

b. Calcul de x + y :

                                x + y = BCF + CFB

                                x + y = 45° + 45°

                                x + y = 90°

2. a. Si on suppose que les points E, C et F sont alignés, quelle serait le mesure de l'angle ECD ?

On considère le triangle ECD rectangle en D :

Alors : EDC = D = 90°.

Et sachant que la somme des angles dans un triangle est égale à 180° :

Alors : EDC + ECD + DEC = 180°

            90° + ECD + DEC = 180°

                     ECD + DEC = 180° - 90°

                     ECD + DEC = 90°

Et sachant que : ECD = DEC = 90°

Alors :           ECD + DEC = 90°

                              2ECD = 90°

                                 ECD = 90°/2

                                 ECD = 45°

===> D'où ECD = DEC = 45°.

2. b. Les triangles CBF et EDC sont-ils semblables ? Justifier :

On a : EDC = CBF = 90° et ECD = DEC = CFB = BCF = 45°

===> D'où les triangles CBD et EDC sont semblables.

3. Conclure sur l'alignement des points :

Pour que les points E, C et F soient alignés il faut que l'angle ECF soit plat et donc 180°.

Et sachant que : DCF = 90°.

Alors :                         ECF = ECD + DCB + BCF

                                  ECF = 45° + 90° + 45°

                                  ECF = 90° + 90°

                                  ECF = 180°

===> D'où les points E, C et F sont alignés.

Voilà