Soit f1 la fonction définie sur R par : f1(x)= x^2-x-1; et f2 la fonction définie sur R par:
f2(x)= -2x^2+5x-4
1) Démontrer que les paraboles P1 et P2, représentant respectivement les fonctions f1 et f2, admettent une tangente commune en leur unique point commun.
2) Donner une équation de cette tangente.
f2(x)= -2x^2+5x-4
1) Démontrer que les paraboles P1 et P2, représentant respectivement les fonctions f1 et f2, admettent une tangente commune en leur unique point commun.
2) Donner une équation de cette tangente.
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1) Déterminons les coordonnées du point M commun à P1 et P2.
f1(x) = f2(x)
x² - x - 1 = -2x² + 5x - 4
x² + 2x² - x - 5x - 1 + 4 = 0
3x² - 6x + 3 = 0
3(x² - 2x + 1) = 0
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1.
f1(1) = 1² - 1 - 1
= -1
f2(1) = -2*1 + 5*1 - 4
= -2 + 5 - 4
= -1
Le point commun aux deux paraboles est M(1 ; -1).
Calculons les coefficients directeurs des tangentes en ce point M.
f '(x) = 2x - 1 ===> f '(1) = 2*1 - 1
= 1
g '(x) = -4x + 5 ===> g '(1) = -4*1 + 5
= 1
Au point M, les deux tangentes ont le même coefficient directeur égal à 1.
Ces deux tangentes sont donc confondues.
Par conséquent P1 et P2 admettent une tangente commune en leur unique point commun M.
2) Une équation de la tangente au point d'abscisse a est de la forme :
y = f '(a)(x - a) + f(a)
Pour cet exercice, le point de tangence est M(1 ; -1)
D'où :
a = 1
f(a) = -1
f '(a) = f '(1) = 1
Equation de la tangente : y = 1(x - 1) + (-1)
y = x - 1 - 1
y = x -2