Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases qu'il met en vente. Chaque vase est vendu 50 euros.
Vous êtes le comptable de l'artisan et il vous demande de faire une étude sur sa production pour connaitre la rentabilité et le bénéfice maximal
il estime le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l'expression est C(x)= x²-10x+500 avec x qui appartient à ( 0;60)
On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.
1. Calculer le coût de production de 40 vases
3a. Combien d'euros rapporteront 10 vases vedus ?
b. On appelle " recette" la somme d'argent rapportée grâce à la vente.
Justifier que la recette' ,en euros, est exprimée par la fonction R(x) = 50x avec x qui appartient à (0;60)
4. On appelle " bénéfice" la somme d'argent correspondant à la recette moins le coût
a. Montrer que le bénéfice, en euros, est donné par la fonction B(x)=-x²+60x-500 avec x qui appartient à (0;60)
b. Calculer le bénéfice pour 40 vases
5. Montrer que B(x)= -(x-50)(x-10)
b. Résoudre l'inéquation B(x) > 0 sur l'intervalle ( 0;60)
6. Montrer que B(x)= -(x-30)²+400
b. En déduire le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle ( 0;60)
c. Pour quel nombre de vases vendus a-t-on le bénéfice maximal ?
Vous êtes le comptable de l'artisan et il vous demande de faire une étude sur sa production pour connaitre la rentabilité et le bénéfice maximal
il estime le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l'expression est C(x)= x²-10x+500 avec x qui appartient à ( 0;60)
On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.
1. Calculer le coût de production de 40 vases
3a. Combien d'euros rapporteront 10 vases vedus ?
b. On appelle " recette" la somme d'argent rapportée grâce à la vente.
Justifier que la recette' ,en euros, est exprimée par la fonction R(x) = 50x avec x qui appartient à (0;60)
4. On appelle " bénéfice" la somme d'argent correspondant à la recette moins le coût
a. Montrer que le bénéfice, en euros, est donné par la fonction B(x)=-x²+60x-500 avec x qui appartient à (0;60)
b. Calculer le bénéfice pour 40 vases
5. Montrer que B(x)= -(x-50)(x-10)
b. Résoudre l'inéquation B(x) > 0 sur l'intervalle ( 0;60)
6. Montrer que B(x)= -(x-30)²+400
b. En déduire le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle ( 0;60)
c. Pour quel nombre de vases vendus a-t-on le bénéfice maximal ?
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BonsoirPour x élément de [ 0 ; 60 ]
C(x) = x²-10x+500
1) pour 40 vases
C(40) = 4800 -400+500 = 4900 euros
3a) pour 10 vases vendus au prix unitaire de 50 euros
Recette = 10 * 50 = 500 euros
b) Recette = R(x) = 50x
4)Le bénéfice est défini par
Bénéfice = Recette - Côut de production soit
a)
B(x) = R(x) - C(x )
B(x ) = 50x - ( x²-10x+500)
B(x) = -x² +60x - 500
b) pour 40 vases le bénéfice sera
B(40) = -1600 + 2400 - 500 = 300 euros
5a)
B(x) = -(x-50)(x-10) on développe
B(x) = -(x²-10x-50x+500)
B(x) = -x²+60x-500 ce qu'il fallait démontrer
b)
B(x) > 0
x 0 10 50 60
(x-10) -10 négatif 0 positif 40 positif 50
(x-50) -50 négatif -40 négatif 0 positif 10
- (x-10)(x-50) -500 négatif 0 positif 0 négatif -500
6)
B(x) = -(x-30)² +400
B(x) = -(x² +900-60x)+400
B(x) = -x²+60x-500 ce qu'il fallait démontrer
B(x) maximal pour B(x) = 400 soit (x-30) = 0 pour x = 30
le Bénéfice maximal sera de
B(30) = 400 euros