O objetivo é calcular a integral da função f(x) = x² + 2 no intervalo de 0 a 1, dividido em 8 intervalos. A regra dos trapézios é um método de aproximação para calcular o valor de uma integral definida, dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. Após realizar os cálculos, encontramos que o valor aproximado da integral é: 2.130859375.

Integração numérica

Para resolver esse problema, podemos aplicar a regra dos trapézios com o número de intervalos fornecido (8 intervalos) para estimar o valor da integral da função f(x) = x² + 2 no intervalo de 0 até 1.

Calculando a aproximação da integral usando a regra dos trapézios, obtemos:

• h = (1 - 0) / 8 = 1/8

Neste caso:

[tex]\[ \text{valor\_aproximado} = \frac{h}{2} \left( f(0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(1) \right) \][/tex]

Onde, n=8

[tex]\[ \text{valor\_aproximado} = \frac{1}{16} \left( f(0) + 2 \sum_{i=1}^{7} f(x_i) + f(1) \right) \][/tex]

Onde f(xi) representa o valor da função f(x) nos pontos intermediários dentro de cada intervalo.

• [tex]$\int_{a}^{b}\,f(x)\,d x={\frac{h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\ldots+f(b)]$[/tex]

Neste caso

• [tex]2[f\left(0+h\right)+f\left(0+2h\right)+f\left(0+3h\right)+f\left(0+4h\right)+f\left(0+5h\right)+f\left(0+6h\right)+f\left(0+7h\right)][/tex]

Onde:

• [tex]f\left(x\right)=x^2+2[/tex]

Então

• [tex]2[(h^2+2)+(4h^2+2)+(9h^2+2)+(16h^2+2)+(25h^2+2)+(36h^2+2)+(49h^2+2)][/tex]

• [tex]2[((\frac{1}{16})^2+2)+(4(\frac{1}{16})^2+2)+(9(\frac{1}{16})^2+2)+(16(\frac{1}{16})^2+2)+(25(\frac{1}{16})^2+2)+(36(\frac{1}{16})^2+2)+(49(\frac{1}{16})^2+2)][/tex]

• [tex]29.09375[/tex]

Nós substituímos

• [tex]\frac{1}{16} (f(0)+29.09375+f(1))[/tex]
• [tex]\frac{1}{16} ((0+2)+29.09375+(1+2))[/tex]
• [tex]\frac{1}{16} (34.09375)[/tex]
• 2.130859375

Substituindo na fórmula, obtemos o valor aproximado da integral. Após realizar os cálculos, encontramos que o valor aproximado da integral é: 2.130859375.

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