Réponse :

Bonjour

1) Le volume de la boite s'obtient en multipliant la longueur par la largeur et par la hauteur

[tex]V=x\times y\times 16 \\V=16xy[/tex]

[tex]y=\frac{V}{16x}\\\\y=\frac{10 000}{16x}[/tex]

Pour x =20 cm on a

[tex]y=\frac{10000}{16\times20} \\y=31,25\;cm[/tex]

2) La boite est formée par un rectangle de dimensions x et y, deux rectangles de dimensions x et 16 et deux rectangles de dimensions y et 16. (voir photo)

L'aire du parallélépipède est :

[tex]f(x)=xy+2\times16x+2\times16y\\\\f(x)=x\times\frac{10000}{16x} +32x+32\times\frac{10000}{16x} \\\\f(x)=625+32x+\frac{20000}{x}[/tex]

3) Etudions les variations de f.

Pour x >0

[tex]f'(x)=-\frac{20000}{x^2} +32\\\\f'(x)=\frac{32x^2-20000}{x^2} \\[/tex]

Déterminons le signe de f'(x).

x² > 0 pour tout x > 0 donc f'(x) est du signe de 32x²-2000

32x²-20000 = 0 <=>

32x² = 20000 <=>

x² =  625 <=>

x = 25  ou x = -25

Or x > 0 donc x = 25.

32x²-2000, polynôme du second degré avec a = 32, b=0 et c = -20000, est positive entre ses racines et négatives à l'extérieur de ses racines.

On a le tableau  suivant

x    |0           25       +∞|

-------------------------------|

f'(x) |      -        0     +    |

-------------------------------|

      |625                     |

f      |    [tex]\searrow[/tex]             [tex]\nearrow[/tex]     |

      |          2225         |

-------------------------------|

On remarque de f admet un minimum de 2225 en x = 25.

L'aire de la boite est minimale pour x = 25 cm.

[tex]y=\frac{10000}{16\times25} =25[/tex]

Les dimensions de cette boite sont 25x25x16