Verified answer

Bonjour.

Soit la fonction [tex]f:x \mapsto x^2-6x+8[/tex].

Question 1

L'ensemble [tex]D_f[/tex] de définition de [tex]f[/tex] est :

[tex]D_f=\mathbb{R}[/tex].

Question 2

[tex]f(2)=2^2 -6(2)+8=4-12+8=0[/tex].

[tex]f(4)=4^2-6(4)+8=16-24+8=0[/tex].

[tex]f(3)=3^2-6(3)+8=9-18+8=-1[/tex].

L'ensemble des racines de [tex]f[/tex] est donc [tex]R_f=\{2\,;4\}[/tex].

Question 3

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to+\infty} x^2 = +\infty[/tex].

[tex]\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to-\infty} x^2 = -\infty[/tex].

Question 4

[tex]\forall x\in D_f \:\: f'(x)=2x-6[/tex]

Question 5

[tex]\begin{aligned}&2x-6 > 0\\\iff&2x > 6\\\iff&x > 3\end{aligned}[/tex]

D'où :

[tex]\forall x < 3\:\:f'(x) < 0\\\forall x > 3\:\:f'(x) > 0[/tex]

Question 6

[tex]f[/tex] est donc strictement décroissante sur [tex]]-\infty;3][/tex] et strictement croissante sur [tex][3;+\infty[[/tex].

Question 7

|--|----------------------------------------|

|[tex]x[/tex] | [tex]-\infty[/tex]      [tex]2[/tex]       [tex]3[/tex]      [tex]4[/tex]      [tex]+\infty[/tex]   |

|--|----------------------------------------|

|[tex]f[/tex] | [tex]+\infty[/tex]                              [tex]+\infty[/tex]   |
|   |             [tex]0[/tex]              [tex]0[/tex]               |
|   |                     [tex]-1[/tex]                     |

|--|----------------------------------------|

Bonne soirée. N'hésite pas si tu as des questions.