Réponse :

Explications étape par étape :

1/

[tex]u_1=\frac{u_0}{3u_0+1}=\frac{2}{7} \\\\u_2=\frac{u_1}{3u_1+1} =\frac{\frac{2}{7} }{\frac{6}{7}+1 } =\frac{2}{13} \\\\u_3=\frac{u_2}{3u_2+1}=\frac{\frac{2}{13} }{\frac{6}{13}+1 } =\frac{2}{19} \\\\v_1=\frac{1}{u_1} =\frac{7}{2} \\\\v_2=\frac{1}{u_2}=\frac{13}{2} \\\\v_3=\frac{1}{u_3}=\frac{19}{2}[/tex]

2/

[tex]v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_{n+1}} -\frac{1}{u_n} =\frac{3u_{n}+1}{u_n} -\frac{1}{u_n} \\\\v_{n+1}-v_n=\frac{3u_n+1-1}{u_n} =\frac{3u_n}{u_n} =3[/tex]

la suite (vₙ) est une suite arithmétique de premier terme v₀ = 1/2 et de raison r = 3.

3/

vₙ =v ₀ + n*r

vₙ = 1/2 +3n

[tex]v_n=\frac{1}{u_n} \\\\u_n=\frac{1}{v_n} \\\\u_n=\frac{1}{\frac{1}{2}+3n } =\frac{1}{\frac{6n+1}{2} } =\frac{2}{6n+1}[/tex]