Verified answer

O valor simplificado da expressão [tex]\sqrt[72]{a}[/tex]

Temos a seguinte expressão

[tex]\dfrac{\dfrac{\sqrt[4]{a} }{\sqrt[6]{a} }\div\sqrt[8]{a} }{\dfrac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[9]{a} }{\sqrt{a} } }[/tex]

Bem antes de começarmos a simplifica-la é bom lembrarmos da propriedade do expoente

[tex]\Large\text{$\sqrt[A]{X^B}=X^{\frac{B}{A}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$X^A\cdot X^B= X^{A+B}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{X^A}{X^B}=X^{A-B} $}[/tex]

Com isso em mente vamos simplificar a expressão

[tex]\dfrac{\dfrac{\sqrt[4]{a} }{\sqrt[6]{a} }\div\sqrt[8]{a} }{\dfrac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[9]{a} }{\sqrt{a} } }[/tex]

Vamos transforma essas raízes em frações no expoente

[tex]\dfrac{\dfrac{\sqrt[4]{a} }{\sqrt[6]{a} }\div\sqrt[8]{a} }{\dfrac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[9]{a} }{\sqrt{a} } }\Rightarrow \boxed{\dfrac{\dfrac{a^{\frac{1}{4} } }{a^\frac{1}{6} }\div a^\frac{1}{8} }{\dfrac{a^{\frac{1}{3} }\cdot a^{\frac{1}{9} }}{a^{\frac{1}{2} } } }}[/tex]

Aplicando a propriedades:  [tex]\Large\text{$X^A\cdot X^B= X^{A+B}$}[/tex] e  [tex]\Large\text{$\dfrac{X^A}{X^B}=X^{A-B} $}[/tex]

Temos

[tex]\dfrac{\dfrac{a^{\frac{1}{4} } }{a^\frac{1}{6} }\div a^\frac{1}{8} }{\dfrac{a^{\frac{1}{3} }\cdot a^{\frac{1}{9} }}{a^{\frac{1}{2} } } }\Rightarrow \dfrac{a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{6} } \div a^\frac{1}{8} }{\dfrac{a^{\frac{1}{3} +\frac{1}{9} }}{a^{\frac{1}{2} } } }\Rightarrow \boxed{\dfrac{a^{\frac{1}{12} } \div a^\frac{1}{8} }{\dfrac{a^{\frac{4}{9} }}{a^{\frac{1}{2} } } }}[/tex]

Aplicando novamente as propriedades [tex]\Large\text{$\dfrac{X^A}{X^B}=X^{A-B} $}[/tex]

[tex]\dfrac{a^{\frac{1}{12} } \div a^\frac{1}{8} }{\dfrac{a^{\frac{4}{9} }}{a^{\frac{1}{2} } } }\Rightarrow \dfrac{a^{\frac{1}{12}-\frac{1}{8} }}{a^{\frac{4}{9}-\frac{1}{2} }} \Rightarrow\boxed{\dfrac{a^{-\frac{1}{24} }}{a^{-\frac{1}{18} }}}[/tex]

Aplicando novamente temos

[tex]\dfrac{a^{-\frac{1}{24} }}{a^{-\frac{1}{18} }}\Rightarrow a^{-\frac{1}{24}-( -\frac{1}{18})}\Rightarrow a^{-\frac{1}{24}+\frac{1}{18}}\Rightarrow a^{\frac{1}{72} }\Rightarrow\boxed{ \sqrt[72]{a} }[/tex]

Vou simplificar por partes, já que o LaTeX não colabora muito com frações empilhadas:

[tex]\cfrac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[6]{a}} = \cfrac{\sqrt[12]{a^3}}{\sqrt[12]{a^2}} = \sqrt[12]{a^3 : a^2} = \sqrt[12]{a}[/tex]

[tex]\cfrac{\sqrt[12]{a} }{\sqrt[8]{a}} = \cfrac{\sqrt[24]{a^2} }{\sqrt[24]{a^3}} = \sqrt[24]{a^2 : a^3} = \sqrt[24]{1:a} = \cfrac{1}{\sqrt[24]{a} }[/tex]

Concluído o numerador. Prosseguindo com o denominador:

[tex]\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[9]{a} = \sqrt[9]{a^3} \cdot \sqrt[9]{a} = \sqrt[9]{a^3 \cdot a} = \sqrt[9]{a^4}[/tex]

[tex]\cfrac{\sqrt[9]{a^4} }{\sqrt{a} } = \cfrac{\sqrt[18]{a^8} }{\sqrt[18]{a^9} } = \sqrt[18]{a^8 : a^9} = \sqrt[18]{1:a} = \cfrac{1}{\sqrt[18]{a} }[/tex]

Numerador dividido denominador:
[tex]\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt[24]{a} }}{ \cfrac{1}{\sqrt[18]{a} }} = \cfrac{1}{\sqrt[24]{a} } \cdot \cfrac{\sqrt[18]{a} }{1} = \cfrac{\sqrt[18]{a}}{\sqrt[24]{a}} = \cfrac{\sqrt[72]{a^4}}{\sqrt[72]{a^3}} = \sqrt[72]{a^4 : a^3} = \sqrt[72]{a}[/tex]