Determine as equações das retas tangente e normal à curva do diabo, definida implicitamente por [tex]\Large\text{$d:y^2(y^2-4)=x^2(x^2-5)$}[/tex] pelo ponto de tangência T(0,-2)
✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as retas tangente e normal à curva y²(y² - 4) = x²(x² - 5) (curva do diabo) pelo ponto "T(0, -2)" são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -2\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: x = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Identificar o coeficiente angular da reta tangente;
Uma vez sabendo que o coeficiente angular da reta tangente à curva do diabo pelo ponto "T" é igual à derivada implícita da curva no ponto "T", então, temos:
Montar a equação da reta tangente pelo ponto "T". Para isso , devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", também conhecida por "equação fundamental da reta", que pode ser representada por:
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✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as retas tangente e normal à curva y²(y² - 4) = x²(x² - 5) (curva do diabo) pelo ponto "T(0, -2)" são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -2\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: x = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} d: y^{2}(y^{2} - 4) = x^{2}(x^{2} - 5)\\T(0, -2)\\t: \:?\\n: \:?\end{cases}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos realizar os seguintes passos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}(y^{2}(y^{2} - 4))' & = (x^{2}(x^{2} - 5))' \\(y^{4} - 4y^{2})' & = (x^{4} - 5x^{2})'\\4y^{3}\,y' - 8y\,y' & = 4x^{3} - 10x\\(4y^{3} - 8y)y' & = 4x^{3} - 10x\\y' & = \frac{4x^{3} - 10x}{4y^{3} - 8y}\\ y' & = \frac{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot(2x^{3} - 5x)}{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot(2y^{3}- 4y)}\\ y' & = \frac{2x^{3} - 5x}{2y^{3} - 4y}\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada implícita da curva em termos de "x" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y' = \frac{2x^{3} - 5x}{2y^{3} - 4y}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y'(T) & = y'(0, -2)\\ & = \frac{2\cdot0^{3} - 5\cdot0}{2\cdot(-2)^{3} - 4\cdot(-2)}\\& = \frac{0 - 0}{2\cdot(-8) + 8}\\& = \frac{0}{-16 + 8}\\& = -\frac{0}{8}\\& = 0\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y'(T) = 0\end{gathered}$}[/tex]
Uma vez sabendo que o coeficiente angular da reta tangente à curva do diabo pelo ponto "T" é igual à derivada implícita da curva no ponto "T", então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = y'(T) = 0\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto o valor do coeficiente angular da reta tangente "mt" na equação "I", temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y - (-2) & = 0\cdot(x - 0)\\y + 2 & = 0\\y & = -2\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a equação da reta tangente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = -2\end{gathered}$}[/tex]
✅ Como a reta tangente é uma reta horizontal, então a reta normal será uma reta vertical, passando pelo ponto "T", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n: x = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]