✅Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais da reta "r" que passa pelo ponto "A" e é ortogonal ao plano "α" é:
Para obter a equação vetorial da reta r, precisamos primeiro determinar um vetor diretor que seja ortogonal ao plano α.
Podemos encontrar esse vetor diretor através do produto vetorial entre dois vetores do plano α. Vamos escolher os vetores u = (5, 1, 1) e v = (2, 1, 0):
u x v = (1, -2, 3)
Este vetor é ortogonal ao plano α e, portanto, será um vetor diretor da reta r.
Agora, precisamos apenas encontrar um ponto na reta r. Como a reta é perpendicular ao plano α, ela deve conter a interseção da reta perpendicular ao plano α que passa pelo ponto A com o próprio plano α. Chamaremos esse ponto de B. Podemos encontrar B resolvendo o sistema formado pelas equações da reta e do plano:
Reta: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(1, -2, 3)
Plano: x = 1 + 5t1 + 2t2
y = 4 + t1 + t2
z = 2 + t1
Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, temos:
3 + t = 1 + 5t1 + 2t2
5 - 2t = 4 + t1 + t2
9 + 3t = 2 + t1
Resolvendo esse sistema, encontramos t = 1, t1 = 2 e t2 = -1. Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos o ponto B:
B = (4, 1, 12)
Agora podemos escrever a equação vetorial da reta r na forma paramétrica:
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✅Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais da reta "r" que passa pelo ponto "A" e é ortogonal ao plano "α" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} A = (3, 5, 9)\\\alpha: z = (1, 4, 2) + t_{1}(5, 1, 1) + t_{2}(2, 1, 0)\end{cases}[/tex]
Obtendo a equação vetorial da reta "r" que passa pelo ponto "A" e é ortogonal ao plano "π".
Para resolver esta questão devemos:
[tex]\Large\begin{cases} \vec{u} = (5, 1, 1)\\\vec{v} = (2, 1, 0)\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\5 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\end{vmatrix}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 0 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}5 & 1\\2 & 0 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 5 & 1\\2 & 1\end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (0 - 1)\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (5 - 2)\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-1, 2, 3)\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o vetor normal ao plano é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = (-1, 2, 3)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:r\perp \alpha \Longrightarrow \vec{d} = \lambda\vec{n}\end{gathered}$}[/tex]
Fazendo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lambda = 1\end{gathered}$}[/tex]
Temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{d} = \vec{n}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \overrightarrow{AP} =t\vec{d}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P - A = t\vec{d}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = A + t\vec{d},\:\:\:\forall t\in \mathbb{R}\:\:e\:\:\vec{d} \neq\vec{0}\end{gathered}$}[/tex]
Se as coordenadas dos pontos "P" e "A", bem como as componentes do vetor diretor "d" são, respectivamente:
[tex]\Large\begin{cases} A = (3, 5, 9)\\P = (x, y, z)\\\vec{d} = (-1, 2, 3)\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3)\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Para obter a equação vetorial da reta r, precisamos primeiro determinar um vetor diretor que seja ortogonal ao plano α.
Podemos encontrar esse vetor diretor através do produto vetorial entre dois vetores do plano α. Vamos escolher os vetores u = (5, 1, 1) e v = (2, 1, 0):
u x v = (1, -2, 3)
Este vetor é ortogonal ao plano α e, portanto, será um vetor diretor da reta r.
Agora, precisamos apenas encontrar um ponto na reta r. Como a reta é perpendicular ao plano α, ela deve conter a interseção da reta perpendicular ao plano α que passa pelo ponto A com o próprio plano α. Chamaremos esse ponto de B. Podemos encontrar B resolvendo o sistema formado pelas equações da reta e do plano:
Reta: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(1, -2, 3)
Plano: x = 1 + 5t1 + 2t2
y = 4 + t1 + t2
z = 2 + t1
Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, temos:
3 + t = 1 + 5t1 + 2t2
5 - 2t = 4 + t1 + t2
9 + 3t = 2 + t1
Resolvendo esse sistema, encontramos t = 1, t1 = 2 e t2 = -1. Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos o ponto B:
B = (4, 1, 12)
Agora podemos escrever a equação vetorial da reta r na forma paramétrica:
(x, y, z) = (3, 5, 9) + t(1, -2, 3)
Ou na forma simétrica:
x - 3 = -2(y - 5) = 3(z - 9)