Bonjour à tous,
J'ai un problème avec cette exercice sur les récurrences :
Démontrer que pour tout entier n≥2, [tex]5^n \geq 4^n+3^n[/tex]
J'ai réussi à faire l'initialisation mais je n'arrive pas à faire l'hérédité.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance
J'ai un problème avec cette exercice sur les récurrences :
Démontrer que pour tout entier n≥2, [tex]5^n \geq 4^n+3^n[/tex]
J'ai réussi à faire l'initialisation mais je n'arrive pas à faire l'hérédité.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance
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Bonjourhérédité
supposons que pour un entier naturel k ≥2
5^k ≥ 4 ^k +3^k (hypothèse de récurrence)
il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
( c'est à dire : 5^(k+1) ≥ 4 ^(k+1) +3^(k+1)
k≥ 2 alors
5^k × 5 ≥ 5×(4 ^k +3^k )
on multiplie chaque membre par 5
5^(k+1) ≥ 5×4^k +5×3^k
comme k ≥ 2 on a
5×4^k est supérieur à 4×4^k
4×4^k = 4^(k+1) donc 5×4^k ≥4^(k+1)
5×3^k est supérieur à 3×3^k
3×3^k = 3^(k+1)
donc
5×4^k +5×3^k est supérieur à 4^(k+1)+3^(k+1)
donc comme
5^(k+1) ≥ 5×4^k +5×3^k il est forcément supérieur à 4^(k+1)+3^(k+1)
5^(k+1) ≥ 4 ^(k+1) +3^(k+1)
donc la propriété est héréditaire