Réponse :

1) montrer que la surface de la piscine est égale à  x((54/(x+2)) - 3)

la surface du terrain entourée par la clôture est :  L * l = 54 m² ⇔

L*(2 + x) = 54  ⇔ L = 54/(2+x)

la longueur de piscine est  L' = L - 3  ⇔ L' =  (54/(2+x)) - 3)

la surface de la piscine est :  l' * L' = x(54/(2+x)) - 3)

2) déterminer la valeur de x pour laquelle la surface de la piscine est maximale

notons  S(x) = 54 x/(x+ 2)) - 3 x

S '(x) = (54(x+2) - 54 x)/(x+2)²) - 3

        = (54 x + 108 - 54 x)/(x+2)²) - 3

        = 108/(x+ 2)²) - 3  ⇔ (108 - 3(x+2)²)/(x+2)²

⇔ (108 - 3 x² - 4 x - 4)/(x+2)²

⇔ (- 3 x² - 4 x + 104)/(x+2)²

écrit  S '(x) = 0  ⇔  - 3 x² - 4 x + 104 = 0

Δ = 16 + 1248 = 1264 ⇒ √Δ ≈ 35.55

x1 = 4 + 35.55)/- 6  < 0   ne convient pas

x2 = 4 - 35.55)/- 6 ≈ 5.3

Quelle est alors la surface de la piscine

  Smax = 5.3(54/7.3)  - 3) = 23.3 m²  

Explications étape par étape