Bonsoir,
niveau première
Je n'arrive pas à faire cet exercive aidez-moi svp.
Une architecte doit construire une piscine rectangulaire entourée d'une clôture. La distance entre le bassin et la clôture doit être de 1 mètre dans la largeur et de 1,5 mètres dans la longueur. La surface du terrain entouré par la clôture doit être de 54 m².
(Voir photo)
L'architecte souhaite maximiser la surface de la piscine. On note x la largeur de la piscine.
1. Montrer que la surface de la piscine est égale à
[tex]x( \frac{54}{x + 2} - 3)[/tex]
2. Déterminer la valeur de x pour laquelle la surface de la piscine est maximale. Quelle est alors la surface de la piscine ?
Merci d'avance !
niveau première
Je n'arrive pas à faire cet exercive aidez-moi svp.
Une architecte doit construire une piscine rectangulaire entourée d'une clôture. La distance entre le bassin et la clôture doit être de 1 mètre dans la largeur et de 1,5 mètres dans la longueur. La surface du terrain entouré par la clôture doit être de 54 m².
(Voir photo)
L'architecte souhaite maximiser la surface de la piscine. On note x la largeur de la piscine.
1. Montrer que la surface de la piscine est égale à
[tex]x( \frac{54}{x + 2} - 3)[/tex]
2. Déterminer la valeur de x pour laquelle la surface de la piscine est maximale. Quelle est alors la surface de la piscine ?
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Réponse :
1) montrer que la surface de la piscine est égale à x((54/(x+2)) - 3)
la surface du terrain entourée par la clôture est : L * l = 54 m² ⇔
L*(2 + x) = 54 ⇔ L = 54/(2+x)
la longueur de piscine est L' = L - 3 ⇔ L' = (54/(2+x)) - 3)
la surface de la piscine est : l' * L' = x(54/(2+x)) - 3)
2) déterminer la valeur de x pour laquelle la surface de la piscine est maximale
notons S(x) = 54 x/(x+ 2)) - 3 x
S '(x) = (54(x+2) - 54 x)/(x+2)²) - 3
= (54 x + 108 - 54 x)/(x+2)²) - 3
= 108/(x+ 2)²) - 3 ⇔ (108 - 3(x+2)²)/(x+2)²
⇔ (108 - 3 x² - 4 x - 4)/(x+2)²
⇔ (- 3 x² - 4 x + 104)/(x+2)²
écrit S '(x) = 0 ⇔ - 3 x² - 4 x + 104 = 0
Δ = 16 + 1248 = 1264 ⇒ √Δ ≈ 35.55
x1 = 4 + 35.55)/- 6 < 0 ne convient pas
x2 = 4 - 35.55)/- 6 ≈ 5.3
Quelle est alors la surface de la piscine
Smax = 5.3(54/7.3) - 3) = 23.3 m²
Explications étape par étape