Tema : Relação Trigonométrica.
[tex] \huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \rm \: sen \: o = \frac{a}{b} \\ \\ \rm \: seno = \frac{cateto \: oposto \:ao \: angulo}{hipotenusa} \\ \\ \rm \: cos \: o = \frac{c}{a} \\ \\ \rm \: tangente = \frac{cateto \: adjacente \: ao \: angulo}{cateto \: oposto \: ao \: angulo} \\ \\ \boxed{ \rm \: sen \: b = \frac{c}{a}} \: \: \: \boxed{ \rm los \: b = \frac{b}{a} } \: \: \: \boxed{ \rm tg \:b = \frac{c}{b} } \\ \end{array}}}[/tex]
Quando de ângulo e relação :
( Tabela abaixo )
[tex] \huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \: \: \: \: \: \: \: = > \rm {30}^{o} = > {45}^{o} = > {60}^{o} \\ \\ \rm sen \: = > \frac{1}{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ - - - - - - - - - - - - - \\ \rm cos = > \frac{ \sqrt{3} }{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{1}{2} \\- - - - - - - - - - - - - \\ \rm tag = > \frac{ \sqrt{3} }{3} = > 1 = > \sqrt{3} \end{array}}}[/tex]
Exemplo :
[tex] \rm sen \: {30}^{o} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \frac{1}{2} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \rm 1 \: . \: x = 3 \: . \: 2 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \: x = 6[/tex]
==================================
Atividade :
Nos triângulos retângulo seguinte (Anexado na foto) , determine o valor do segmento faltante .
Obs : Coloque os cálculos .
[tex] \huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \rm \: sen \: o = \frac{a}{b} \\ \\ \rm \: seno = \frac{cateto \: oposto \:ao \: angulo}{hipotenusa} \\ \\ \rm \: cos \: o = \frac{c}{a} \\ \\ \rm \: tangente = \frac{cateto \: adjacente \: ao \: angulo}{cateto \: oposto \: ao \: angulo} \\ \\ \boxed{ \rm \: sen \: b = \frac{c}{a}} \: \: \: \boxed{ \rm los \: b = \frac{b}{a} } \: \: \: \boxed{ \rm tg \:b = \frac{c}{b} } \\ \end{array}}}[/tex]
Quando de ângulo e relação :
( Tabela abaixo )
[tex] \huge \boxed{ \large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \: \: \: \: \: \: \: = > \rm {30}^{o} = > {45}^{o} = > {60}^{o} \\ \\ \rm sen \: = > \frac{1}{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ - - - - - - - - - - - - - \\ \rm cos = > \frac{ \sqrt{3} }{2} = > \frac{ \sqrt{2} }{2} = > \frac{1}{2} \\- - - - - - - - - - - - - \\ \rm tag = > \frac{ \sqrt{3} }{3} = > 1 = > \sqrt{3} \end{array}}}[/tex]
Exemplo :
[tex] \rm sen \: {30}^{o} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \frac{1}{2} = \frac{3}{x} \\ \\ \: \rm 1 \: . \: x = 3 \: . \: 2 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \rm \: x = 6[/tex]
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Atividade :
Nos triângulos retângulo seguinte (Anexado na foto) , determine o valor do segmento faltante .
Obs : Coloque os cálculos .
Lista de comentários
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Utilizando as relações trigonométricas, concluímos que os segmentos faltantes valem:
[tex]\large \text {$A)~x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}h$}[/tex]
[tex]\large \text {$ B)~x = 3h^2~~~e~~~y = 2h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ C)~x = \dfrac{2\sqrt{3} }{3}h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ D)~x = 2~~~e~~~y = 2\sqrt{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ E)~h=2\sqrt{3} ~~~e~~~y = 4\sqrt{3} $}[/tex]
Observação ⇒ Alguns triângulos tiveram seus segmentos determinados em função da variável h (altura).
Conforme descrito na questão, estamos tratando de triângulo retângulo e vale as relações trigonométricas:
[tex]\bullet~~ \large \text {$ Sen~x =\dfrac{Cateto ~oposto ~ \grave{a} ~x }{Hipotenusa} $}[/tex]
[tex]\bullet~~ \large \text {$ Cos~x =\dfrac{Cateto ~adjacente ~ \grave{a} ~x }{Hipotenusa} $}[/tex]
[tex]\bullet~~ \large \text {$ Tg~x =\dfrac{Cateto ~oposto ~ \grave{a} ~x }{Cateto~adjacente~ \grave{a} ~x} $}[/tex]
Lembrando que:
→ Cateto Oposto ao ângulo é aquele que está em frente ao ângulo;
→ Cateto Adjacente é aquele que está do lado (grudado) ao ângulo.
→ Cuidado para não confundir com Hipotenusa que é o maior lado do triângulo e oposto ao ângulo de 90°
Importante: Uma fração não deve ter o denominador com uma raiz, portanto para que isso não ocorra, basta multiplicarmos numerador e denominador pela raiz.
Vamos calcular cada um dos triângulos:
A)
Ângulo = 30°
Cateto Oposto à 30° = h
Cateto Adjacente à 30° = 2h
Hipotenusa = x
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Cos~30 =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Cos ~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{2} = \dfrac{2h}{x} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sqrt{3}.x= 2~. ~2h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sqrt{3}~x= 4h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{4h}{\sqrt{3} } $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x = \dfrac{4h~. ~\sqrt{3} }{\sqrt{3} ~.\sqrt{~3} } \implies x = \dfrac{4\sqrt{3}~ h }{(\sqrt[\backslash\!\!\!2]{3} )^{\backslash\!\!\!2} } \implies \boxed{x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}h} $}[/tex]
B)
Ângulo = 60°
Cateto Oposto à 60° = √x
Cateto Adjacente à 60° = h
Hipotenusa = y
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Tg~60 =\sqrt{3} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Tg~60 = \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{x} }{h} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sqrt{x} = \sqrt{3}~ .~ h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x = ( \sqrt{3}~ .~ h )^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x = \sqrt{3}^2~ .~ h^2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \boxed{x = 3h^2} $}[/tex]
Agora vamos achar y:
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Cos~60 = \dfrac{1}{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$Cos~ 60 = \dfrac{h}{y} = \dfrac{1}{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ 1y = 2h\implies \boxed{y = 2h } $}[/tex]
C)
Ângulo = 60°
Cateto Oposto à 60° = h
Cateto Adjacente à 60° = Sem dados
Hipotenusa = x
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Sen~60 =\dfrac{\sqrt{3}}{2} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$Sen~60= \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{h}{x} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sqrt{3}~. ~x = 2.h $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x = \dfrac{2h}{\sqrt{3} } \implies x = \dfrac{2h~. ~\sqrt{3}}{\sqrt{3}~.~ \sqrt{3} } \implies \boxed{x = \dfrac{2\sqrt{3} }{3}h} $}[/tex]
D)
Ângulo = 45°
Cateto Oposto à 45° = 2
Cateto Adjacente à 45° = x
Hipotenusa = y
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Tg~45 =1 $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Tg~45 = 1 = \dfrac{2}{x} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \boxed{x = 2} $}[/tex]
Agora vamos achar y (hipotenusa)
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Sen~45 = \dfrac{\sqrt{2} }{2} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Sen~45 = \dfrac{\sqrt{2} }{2} = \dfrac{2}{y} $}[/tex]
[tex]\large \text {$\sqrt{2}~. ~y = 2~.~2 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ y = \dfrac{4}{\sqrt{2} } \implies y=\dfrac{4~. ~\sqrt{2} }{\sqrt{2}~. ~\sqrt{2}} \implies y=\dfrac{4\sqrt{2} }{2} \implies \boxed{y = 2\sqrt{2}} $}[/tex]
E)
Ângulo = 30°
Cateto Oposto à 30° = h
Cateto Adjacente à 30° = 6
Hipotenusa = y
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Tg~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{3} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Tg~30 = \dfrac{\sqrt{3} }{3} = \dfrac{h}{6} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ 3h = 6\sqrt{3} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ h = \dfrac{6\sqrt{3} }{3} \implies \boxed {h = 2\sqrt{3} }$}[/tex]
Agora vamos achar y (hipotenusa)
[tex]\large \text {$ Tabela \Rightarrow Sen~30 = \dfrac{1}{2} $}[/tex]
Logo:
[tex]\large \text {$ Sen ~30 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{h }{y} $}[/tex] como h = 2√3
[tex]\large \text {$ \dfrac{2\sqrt{3} }{y} = \dfrac{1}{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ y~. ~1 = 2~. ~2\sqrt{3} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \boxed{y = 4\sqrt{3} } $}[/tex]
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