Réponse : Bonjour,

1) A(0;0), B(1;0), C(1;1), D(0;1)

2)a) ABE est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de E est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [AB], donc l'abscisse de E est .

b) On appelle par , le point d'intersection de la hauteur issue de E, et du segment [AB].

Dans le triangle EHB rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a:

.

c) On en déduit que .

d) BFC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de F est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [BC], on en déduit que l'ordonnée de F est .

De plus, puisque BFC est un triangle équilatéral de même mesure que le triangle AEB, alors d'après ce qui précède, la hauteur issue de F mesure . Donc l'abscisse du point F est .

Donc .

3) Pour démontrer que les points D, E et F sont alignés, on va montrer que les vecteurs et sont alignés.

Rappel: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si .

On a:

(suite)

.

Les vecteurs et sont colinéaires, donc les points D, E et F sont alignés.