bonjour pourriez-vous m'aider s'il vous plaît c'est un exercice de seconde pour lundi, merci.énoncé:.... Pergunta de ideia deselena924

January 2021 1 93 Report

bonjour pourriez-vous m'aider s'il vous plaît c'est un exercice de seconde pour lundi, merci.

énoncé:

methode avec les coordonnées:

on se place dans le repère (A; vecteur AB; vecteur AD)

1)lire les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère.

2) a) justifier par un argument géométrique que l'abscisse du point E est 1/2.
b)montrer que la longueur de la hauteur issue de E dans le triangle équilatéral ABE est égale à
[tex] \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]
c)en déduire les coordonnées de E (valeurs exactes).
d)donner sans calcul les coordonnées de F (valeurs exactes).

3) montrer que les points D, et F sont alignés.

merci beaucoup

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1) A(0;0), B(1;0), C(1;1), D(0;1)

2)a) ABE est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de E est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [AB], donc l'abscisse de E est $\frac{1}{2}$ .

b) On appelle par $H$ , le point d'intersection de la hauteur issue de E, et du segment [AB].

Dans le triangle EHB rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on a:

$EB^{2}=EH^{2}+HB^{2}\\EH^{2}=EB^{2}-HB^{2}\\EH^{2}=1^{2}-(\frac{1}{2} )^{2} \quad car \: H \: milieu \: de \: [AB], \: donc \: HB=\frac{1}{2} \\EH^{2}=1-\frac{1}{4} \\EH^{2}=\frac{3}{4} \\EH=\sqrt{\frac{3}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2}$ .

c) On en déduit que $E(\frac{1}{2} ;\frac{\sqrt{3}}{2} )$ .

d) BFC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de F est aussi médiatrice, donc passe par le milieu de [BC], on en déduit que l'ordonnée de F est $\frac{1}{2}$ .

De plus, puisque BFC est un triangle équilatéral de même mesure que le triangle AEB, alors d'après ce qui précède, la hauteur issue de F mesure $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc l'abscisse du point F est $1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Donc $F(1+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$ .

3) Pour démontrer que les points D, E et F sont alignés, on va montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont alignés.

Rappel: Deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x;y), \overrightarrow{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$ .

On a:

$\overrightarrow{DE}=(\frac{1}{2} -0;\frac{\sqrt{3}}{2}-1)=(\frac{1}{2} ;\frac{\sqrt{3}}{2}-1)\\\overrightarrow{EF}=(1+\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} )=(\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2} ;\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} )\\\frac{1}{2} (\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}) -(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} -1)=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}-(\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} -\frac{1}{2})$

(suite)

$\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4} +\frac{1}{2}=\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}+\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} +\frac{2}{4} =\frac{3}{4} -\frac{3}{4} +\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{4}=0$ .