Algumas identidades trigonométricas

Dados [tex]\alpha,\,\beta\in\mathbb{R},[/tex] valem:

• Seno da soma e diferença com π/2:

     [tex]\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos(\alpha)[/tex]

     [tex]\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(\alpha)[/tex]

• Quadrado do seno:

     [tex]\mathrm{sen}^2(\alpha)=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}[/tex]

• Quadrado do cosseno:

     [tex]\cos^2(\alpha)=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}[/tex]

• Cosseno do arco duplo:

     [tex]\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha)[/tex]

• Diferença entre cossenos (transformação em produto):

     [tex]\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\!\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)[/tex]

• Imparidade da função seno:

     [tex]-\,\mathrm{sen}(\alpha)=\mathrm{sen}(-\alpha)[/tex]

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[Proposição] Sejam A, B, C as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se

     [tex]\mathrm{sen}^2(A)+\mathrm{sen}^2(B)+\mathrm{sen}^2(C)=2[/tex]

então o triângulo é retângulo.

     [Demonstração]

Sejam A, B, C as medidas dos ângulos internos de um triângulo.

Em particular, temos

     [tex]0<A<\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{\pi}{2}+x\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

para algum [tex]x,[/tex] com [tex]-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}.[/tex]

Além disso, como são ângulos internos de um triângulo, a soma de suas medidas deve resultar [tex]\pi:[/tex]

     [tex]A+B+C=\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\pi}{2}+x+B+C=\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad C=\pi-\dfrac{\pi}{2}-x-B\\\\ \Longleftrightarrow\quad C=\dfrac{\pi}{2}-B-x\\\\ \Longleftrightarrow\quad C=\dfrac{\pi}{2}-(B+x)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Por hipótese, temos

     [tex]\mathrm{sen}^2(A)+\mathrm{sen}^2(B)+\mathrm{sen}^2(C)=2\\\\ \Longrightarrow\quad \mathrm{sen}^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+\mathrm{sen}^2(B)+\mathrm{sen}^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-(B+x)\right)=2\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(B)+\cos^2(B+x)=2[/tex]

Aplicando as identidades de transformação para sen² e cos², a equação fica

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1+\cos(2x)}{2}+\dfrac{1-\cos(2B)}{2}+\dfrac{1+\cos(2(B+x))}{2}=2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+\cos(2x)+1-\cos(2B)+1+\cos(2B+2x)=4\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(2x)+\cos(2B+2x)-\cos(2B)=4-3\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(2x)+\cos(2B+2x)-\cos(2B)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(2B+2x)-\cos(2B)=1-\cos(2x)[/tex]

Transformando as diferenças em produtos, a equação fica

     [tex]\Longleftrightarrow\quad -2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{2B+2x+2B}{2}\right)\!\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{2B+2x-2B}{2}\right)=1-(\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x))\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2\,\mathrm{sen}(2B+x)\,\mathrm{sen}(x)=1-\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2\,\mathrm{sen}(2B+x)\,\mathrm{sen}(x)=2\,\mathrm{sen}^2(x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\,\mathrm{sen}^2(x)+2\,\mathrm{sen}(2B+x)\,\mathrm{sen}(x)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\,\mathrm{sen}(x)\cdot (\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(2B+x))=0[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}(x)=0\quad\mathrm{ou}\quad \mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(2B+x)=0\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Analisemos cada um dos casos possíveis:

• Caso 1:   [tex]\mathrm{sen}(x)=0[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x=k\pi[/tex]

para algum k inteiro. No entanto, como temos a limitação [tex]-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2},[/tex] o único valor inteiro possível para k é k = 0. Logo, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad x=0\\\\ \Longrightarrow\quad A=\dfrac{\pi}{2}+x\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

ou seja, A é um ângulo reto e consequentemente, o triângulo é retângulo.

• Caso 2:   [tex]\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(2B+x)=0[/tex]

Resolvendo, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}(x)=-\mathrm{sen}(2B+x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(-2B-x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-2B-x+k_3 2\pi\quad\mathrm{ou}\quad x=\pi-(-2B-x)+k_4 2\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-B+k_3\pi\quad\mathrm{ou}\quad x=\pi+2B+x+k_4 2\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-B+k_3\pi\quad\mathrm{ou}\quad B=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}[/tex]

com [tex]k_3,\,k_4,\,k[/tex] inteiros.

Analisando novamente os casos.

O caso [tex]B=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}[/tex] só é possível para k = 0, e nesse caso obtemos

     [tex]B=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

pois B é a medida de um dos ângulos internos, e deve satisfazer [tex]0<B<\pi.[/tex]

Logo, B é um ângulo reto. Consequentemente, o triângulo é retângulo.

Também por isso, para o caso [tex]x=-B+k_3\pi,[/tex] o único valor inteiro possível para [tex]k_3[/tex] é [tex]k_3=0.[/tex] Nesse caso, obtemos

     [tex]x=-B[/tex]

Encontrando as medidas dos outros ângulos:

     [tex]A=\dfrac{\pi}{2}+x=\dfrac{\pi}{2}-B[/tex]

     [tex]C=\dfrac{\pi}{2}-(B+x)=\dfrac{\pi}{2}-(B-B)=\dfrac{\pi}{2}[/tex]

ou seja, A e B são complementares, e C é um ângulo reto. Consequentemente, o triângulo é também retângulo.

Portanto, em qualquer caso, concluímos que o triângulo é retângulo.          ■

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