Resposta: O valor da expressão

     [tex]\dfrac{a^5-b^5}{a-b}+\dfrac{b^5-c^5}{b-c}+\dfrac{c^5-a^5}{c-a}[/tex]

é igual a 183 (cento e oitenta e três).

Explicação passo a passo:

As Relações de Girard para um polinômio de grau 3

Seja

     [tex]p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex]

um polinômio de grau 3, cujos coeficientes [tex]a_0,\,a_1,\,a_2,\,a_3[/tex] são números reais, e [tex]a_3\ne 0.[/tex]

Se [tex]x_1,\,x_2,\,x_3[/tex] são raízes da equação [tex]p(x)=0,[/tex] então valem as seguintes relações:

     [tex]\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=-\,\dfrac{a_2}{a_3}\\\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{a_1}{a_3}\\\\ x_1x_2x_3=-\,\dfrac{a_0}{a_3}\end{array}[/tex]

Encontrando o valor da expressão

Seja [tex]p(x)=x^3-2x^2-3x-4=0.[/tex]

Se [tex]a,\,b,\,c[/tex] são raízes da equação [tex]p(x)=0,[/tex] então as relações de Girard para esta equação são:

     [tex]\begin{array}{lc} A=a+b+c=-\,\dfrac{(-2)}{1}=2&\quad\mathrm{(i)}\\\\ B=ab+ac+bc=\dfrac{-3}{1}=-3&\quad\mathrm{(ii)}\\\\ C=abc=-\,\dfrac{(-4)}{1}=4&\quad\mathrm{(iii)}\end{array}[/tex]

Desenvolvendo por divisão polinomial [tex]\dfrac{a^5-b^5}{a-b},[/tex] [tex]\dfrac{b^5-c^5}{b-c},[/tex] e [tex]\dfrac{c^5-a^5}{c-a},[/tex] temos

     [tex]\dfrac{a^5-b^5}{a-b}\\\\ =\dfrac{(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}{a-b}\\\\ =a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4=D[/tex]

     [tex]\dfrac{b^5-c^5}{b-c}\\\\ =\dfrac{(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)}{b-c}\\\\ =b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4=E[/tex]

     [tex]\dfrac{c^5-a^5}{c-a}\\\\ =\dfrac{(c-a)(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)}{b-c}\\\\ =c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4=F[/tex]

Em resumo, temos

     [tex]\begin{array}{lc}D=\dfrac{a^5-b^5}{a-b}=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4&\quad\mathrm{(iv)}\\\\ E=\dfrac{b^5-c^5}{b-c}=b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4&\quad\mathrm{(v)}\\\\ F=\dfrac{c^5-a^5}{c-a}=c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4&\quad\mathrm{(vi)}\end{array}[/tex]

Por (i), desenvolvendo [tex]A^2,[/tex] temos

     [tex]\begin{array}{rl}A^2=&(a+b+c)^2\\\\ =&a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\\\ =&a^2+2ab+2ac+(b^2+2bc+c^2)\\\\ =&(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)\\\\ =&(a^2+b^2+c^2)+2B\end{array}\\\\\\ \begin{array}{rl}\Longleftrightarrow\quad a^2+b^2+c^2=&A^2-2B\\\\ =&(2)^2-2\cdot(-3)\\\\ =&4+6\\\\=&10\end{array}[/tex]

Fazendo [tex]a^2+b^2+c^2=G,[/tex] temos

     [tex]G=a^2+b^2+c^2=10\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Multiplique (ii) e (vii) membro a membro:

     [tex]\begin{array}{rl}BG=&(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\\\\ =&a^3b+ab^3+abc^2+a^2bc+b^3c+bc^3+ca^3+ab^2c+c^3a\\\\ =&(a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a)+abc(c+a+b)\\\\ =&(a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a)+CA \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rl}\Longleftrightarrow\quad a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a=&BG-CA\\\\ =&(-3)\cdot (10)-(4)\cdot (2)\\\\ =&-30-8\\\\ =&-38\end{array}[/tex]

Fazendo [tex]a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a=H,[/tex] temos

     [tex]H=a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a=-38\qquad\mathrm{(viii)}[/tex]

Por (ii), desenvolvendo [tex]B^2,[/tex] temos

     [tex]\begin{array}{rl}B^2=&(ab+bc+ca)^2\\\\ =&(ab)^2+2(ab)(bc+ca)+(bc+ca)^2\\\\ =&(ab)^2+2ab(bc+ca)+[(bc)^2+2(bc)(ca)+(ca)^2]\\\\ =&a^2b^2+2ab^2c+2a^2bc+(b^2c^2+2abc^2+c^2a^2)\\\\ =&(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2abc(b+a+c)\\\\ =&(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2CA \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rl}\Longleftrightarrow\quad a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=&B^2-2CA\\\\ =&(-3)^2-2\cdot (4)\cdot (2)\\\\ =&9-16\\\\ =&-7 \end{array}[/tex]

Fazendo [tex]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=I,[/tex] temos

     [tex]I=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=-7\qquad\mathrm{(ix)}[/tex]

Por (vii), desenvolvendo [tex]G^2,[/tex] temos

     [tex]\begin{array}{rl} G^2=&(a^2+b^2+c^2)^2\\\\ =& (a^2)^2+2a^2(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2\\\\ =& (a^2)^2+2a^2(b^2+c^2)+[(b^2)^2+2b^2c^2+(c^2)^2]\\\\ =&a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+(b^4+2b^2c^2+c^4)\\\\ =& (a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\\\\ =& (a^4+b^4+c^4)+2I\end{array}\\\\\\ \begin{array}{rl}\Longleftrightarrow\quad a^4+b^4+c^4=&G^2-2I\\\\ =&(10)^2-2\cdot (-7)\\\\ =&100+14\\\\ =&114 \end{array}[/tex]

Fazendo [tex]a^4+b^4+c^4=J,[/tex] temos

     [tex]J=a^4+b^4+c^4=114\qquad\mathrm{(x)}[/tex]

Queremos encontrar o valor de [tex]D+E+F.[/tex]

Somando as equações (iv), (v) e (vi) membro a membro, obtemos

     [tex]\begin{array}{rl} D+E+F=&2(a^4+b^4+c^4)+(a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\\\ =&2J+H+I\\\\ =&2\cdot (114)+(-38)+(-7)\\\\ =&228-38-7\\\\ =&190-7\\\\ =&183\end{array}\\\\\\ \Longrightarrow\quad \dfrac{a^5-b^5}{a-b}+\dfrac{b^5-c^5}{b-c}+\dfrac{c^5-a^5}{c-a}=183[/tex]

sendo esta a resposta.

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