Esse poliedro tem 44 vértices.

Como ainda estamos trabalhando com vértices, faces e arestas de um poliedro convexo a fórmula utilizada será a Relação de Euler.

No entanto essa questão precisa de um olhar mais aprofundado para ser resolvida.

Através dos dados fornecidos pelo enunciado nós conseguiremos encontrar o número de arestas desse poliedro. Mas como ?

                   Arestas

As arestas são as linhas que resultam do encontro de duas faces. (Como cada face de um poliedro é uma figura plana é possível dizer que o número de lados de cada face é igual ao número de arestas).

• Faces Triangulares → Possuem tres lados cada (Ou seja, tres arestas).
• Faces Quadrangulares → Possuem quatro lados/arestas cada.
• Face Dodecagonal → Possui 12 lados/arestas.

Até o momento a gente já sabe quantas arestas tem cada face triangular, quadrangular e dodecagonal. No entanto, esse poliedro tem mais de uma face triangular e quadrangular. Portanto :

Total de Arestas

• Faces Triangulares → 8 faces x 3 arestas = 24 arestas totais
• Faces Quandrangulares → 5 faces x 4 arestas = 20 arestas totais
• Face Dodecagonal → 1 face x 12 arestas = 12 arestas totais

Total → 24 + 20 + 12 = 56 arestas

Com esse valor em mãos é só aplicarmos a Relação de Euler lembrando que :

Total de faces → 8 faces triang + 5 faces quadrang + 1 face dodecag = 14 faces

                    V + F = A + 2

                  V + 14 = 56 + 2

                     V + 14 = 58

                     V = 58 - 14

                       [tex]\boxed {V = 44}[/tex]