Dispondo de 20 questões, das quais 7 são de funções reais, 3 de probabilidade, 5 de geometria e 5 de álgebra, o professor pode elaborar uma prova de 10 questões, sendo 4 de funções reais, pelo menos duas de probabilidade e até duas de geometria de 20.125 maneiras distintas, alternativa E está correta.

Resolução através da fórmula da combinação

Esta é uma questão de análise combinatória e que pode ser resolvida utilizando a fórmula da combinação, que é:

C(n,p) = n!/p!(n-p)!, onde n é o total de elementos e p é o número de elementos tomados p a p.

No entanto, perceba que existem algumas formas de combinar as questões que professor dispõe para elaborar a prova. Ele sempre utilizará quatro questões de funções reais de um total de 7, no entanto o número de questões de probabilidade, geometria e álgebra irá variar. Sabendo disto, devemos ter em mente que a prova será composta da seguinte forma:

F + P + G + A = 10, onde F representa as questões de funções, P representa as questões de probabilidade, G representa as questões de geometria e A representa as questões de álgebra.

Vamos começar descobrindo de quantas formas as questões de funções reais podem ser selecionadas. Temos 7 questões totais, das quais serão selecionadas 4. Logo:

C(7,4) = 7!/4!(7-4)!

C(7,4) = 7!/4! × 3!

C(7,4) = (7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 3 × 2)

C(7,4) = (7 × 6 × 5)/6

C(7,4) = 7 × 5

C(7,4) = 35

Assim, sabemos que o professor pode selecionar as questões de funções reais de 35 formas diferentes. Agora perceba que o número de questões de probabilidade é de pelo menos duas, de um total de três, ou seja, podemos ter duas ou três questões de probabilidade. Logo, temos dois cenários possíveis:

C(3,2) = 3!/2!1!

C(3,2) = 3 × 2!/2!

C(3,2) = 3

Assim, descobrimos que podemos ter 3 combinações de questões de probabilidade duas a duas. Caso tenhamos três questões de probabilidade, este resultado é 1, pois:

C(3,3) = 3!/3!(3-3)!

C(3,3) = 3!/3!0!

C(3,3) = 3!/3!

C(3,3) = 1

Quanto as questões de geometria, sabemos que podem ser utilizadas até duas de um total de 5, ou seja, podemos ter uma, duas ou nenhuma questão de geometria. Vamos calcular quantas combinações são possíveis de uma ou duas questões:

C(5,1) = 5!/1!4!

C(5,1) = 5 × 4!/4!

C(5,1) = 5

C(5,2) = 5!/2!3!

C(5,2) = 5 × 4 × 3!/2 × 3!

C(5,2) = 20/2

C(5,2) = 10

Assim, perceba que o número variável de questões de probabilidade e de geometria irá influenciar no número de questões de álgebra. Assim, observe abaixo as possíveis composições para a prova com 4 questões de funções, 2 ou 3 questões de probabilidade 3, e 1 ou 2 questões de geometria:

P1 = 4 Funções + 2 Probabilidade + 2 Geometria = 8 questões

P2 = 4 Funções + 3 Probabilidade + 2 Geometria = 9 questões

P3 = 4 Funções + 2 Probabilidade + 1 Geometria = 7 questões

P4 = 4 Funções + 3 Probabilidade + 1 Geometria = 8 questões

Observe que temos o total de questões acima representado para cada cenário. O total de 10 questões deverá ser completado com questões de álgebra. No cenário P1 temos um total de 8 questões, ou seja, faltam duas questões que serão de álgebra. Logo:

C(5,2) = 5!/2!3!

C(5,2) = 5 × 4 × 3!/2 × 3!

C(5,2) = 20/2

C(5,2) = 10

Sabemos assim, que é possível combinar de 10 formas diferentes as 5 questões de álgebra tomadas duas a duas. Esse é o mesmo resultado para o cenário P4. No cenário P2 temos o total de 9 questões, então apenas uma questão será de álgebra. Logo:

C(5,1) = 5!/1!4!

C(5,1) = 5 × 4!/4!

C(5,1) = 5

No cenário P3 utilizaremos 3 questões de álgebra, logo:

C(5,3) = 5!/3!2!

C(5,3) = 5 × 4 × 3!/3! × 2

C(5,3) = 20/2

C(5,3) = 10

No entanto, temos ainda mais dois cenários, que são aqueles em que nenhuma questão de geometria é utilizada, sendo os seguintes:

P5 = 4 Funções + 2 Probabilidade = 6 questões

P6 = 4 Funções + 3 Probabilidade = 7 questões

Assim, teremos que no cenário P5 utilizaremos 4 questões de álgebra. Logo:

C(5,4) = 5!/1!4!

C(5,4) = 5 × 4!/4!

C(5,4) = 5

Já o cenário P6 utilizará 3 questões de álgebra, logo a combinação é igual a do cenário P3.

Agora, precisamos multiplicar as combinações para cada cenário, obtendo o número de combinações possíveis em cada um deles. Logo:

P1 = 35 × 3 × 10 × 10

P1 = 10.500

P2 = 35 × 1 × 10 × 5

P2 = 1.750

P3 = 35 × 3 × 5 × 10

P3 = 5.250

P4 = 35 × 1 × 5 × 10

P4 = 1.750

P5 = 35 × 3 × 5

P5 = 525

P6 = 35 × 1 × 10

P6 = 350

Por fim, basta somarmos todas as combinações obtidas acima para chegar ao resultado final, logo:

C = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6

C = 10.500 + 1.750 + 5.250 + 1.750 + 525 + 350

C = 20.125

Assim, concluímos que o professor pode elaborar a prova de 20.125 formas distintas, alternativa E está correta.

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