A nova amplitude [tex](\(A_{\text{depois}}\))[/tex] após acoplar a massa M é dada por [tex]\(\sqrt{\frac{k}{M}(A_1^2 - 2gh)}\)[/tex], utilizando conservação de energia em um sistema massa-mola gravitacional.

Conservação de energia

Para resolver esse problema, é útil usar a conservação de energia. Antes da massa M ser acoplada, o sistema tem uma energia total que é a soma da energia cinética (devido ao movimento harmônico simples - MHS) e a energia potencial elástica da mola.

Após a massa M ser acoplada e o sistema atingir uma nova amplitude, toda a energia inicial é convertida em energia potencial gravitacional (devido à altura da massa M acima da posição de equilíbrio) e energia potencial elástica da mola.

Vamos denotar as seguintes variáveis:

• m é a massa original que está realizando o MHS.
• k é a constante elástica da mola.
• A_1 é a amplitude inicial do MHS.
• M é a massa que é acoplada.
• g é a aceleração devida à gravidade.

Antes da massa M ser acoplada, a energia total é dada por:

[tex]\[E_{\text{antes}} = \frac{1}{2}kA_1^2\][/tex]

Após a massa M ser acoplada, a energia total é a soma da energia potencial elástica da mola e a energia potencial gravitacional da massa M acima da posição de equilíbrio:

[tex]\[E_{\text{depois}} = \frac{1}{2}kA_{\text{depois}}^2 + Mgh\][/tex]

onde [tex]\(A_{\text{depois}}\)[/tex] é a nova amplitude.

Como a energia total é conservada, temos:

[tex]\[E_{\text{antes}} = E_{\text{depois}}\][/tex]

[tex]\[ \frac{1}{2}kA_1^2 = \frac{1}{2}kA_{\text{depois}}^2 + Mgh \][/tex]

[tex]\[A_{\text{depois}}^2 = \frac{k}{M} (A_1^2 - 2gh)\][/tex]

[tex]\[A_{\text{depois}} = \sqrt{\frac{k}{M} (A_1^2 - 2gh)}\][/tex]

Portanto, a nova amplitude [tex]\(A_{\text{depois}}\)[/tex] é dada por essa fórmula.

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