Usando uma das propriedades de operações com logaritmos, bem

como a definição de logaritmo, obtém-se:

( D ) Tem uma única raiz irracional , que é √14

Existem várias propriedades nas operações com logaritmos.

Aqui vai interessar:

Primeira propriedade → Logaritmo de um produto

[tex]\Large \text{$log_{a}(b\cdot c)=log_{a}b~+~log_{a}c$}[/tex]

Mas esta igualdade também é válida se estiver ao contrário, estando o

segundo  membro no lugar do primeiro membro da equação, deste

modo :

[tex]\Large \text{$log_{a}b~+~log_{a}c~=~log_{a}(b\cdot c)$}[/tex]

[tex]\Large \text{$log(x+2)~+~log(x-2)~=~1$}[/tex]

[tex]log[(x+2)\cdot(x-2)]~=~1\\\\log(x^2-2^2)~=~1\\\\log_{10}(x^2-4)=1\\[/tex]

Foi usado um Produto Notável  " Diferença de dois quadrados "

O desenvolvimento é:

• ( base do primeiro quadrado + base segundo quadrado)  

multiplicar

• ( base do primeiro quadrado - base segundo quadrado)

Exemplo :

[tex]a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)[/tex]

Mas ter presente que :

[tex](a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2[/tex]

ou neste caso:

[tex](x+2)\cdot(x-2)=x^2-2^2=x^2-4[/tex]

Segunda propriedade ( definição de logaritmo )

[tex]\Large \text{$log_{a}b=x~~\Longleftrightarrow~b=a^{x}$}[/tex]

[tex]log_{10}(x^2-4)=1\\\\x^2-4=10^1\\\\x^2=10+4\\\\x^2=14\\\\x=+\sqrt{14}~~~~~ou~~~~x=-\sqrt{14}[/tex]

[tex]\sqrt{14} =3{,}74[/tex]

A solução  [tex]-\sqrt{14} =-3{,}74[/tex]  não serve, pois :

[tex]-3{,}74+2 =-1{,}74[/tex]

e

[tex]-3{,}74-2 =-5{,}74[/tex]

Dá valores negativos.

Não serve pois não existem logaritmos de valores negativos.

Fica como solução única :

• [tex]\sqrt{14} =+3{,}7416573867739413855837487323165. . .[/tex]

que é um número Irracional, pois é uma dízima infinita não periódica.

Na parte decimal não há repetições de um mesmo grupo de algarismos.

( D )  Tem uma única raiz irracional.

Ver mais sobre logaritmos e suas propriedades, com Brainly :

https://brainly.com.br/tarefa/506881?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/24941869?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/25833167?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]   multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.