Resposta:

a) Portanto, a probabilidade de ocorrer exatamente 2 caras em 4 lançamentos de uma moeda é 3/8.

b) Portanto, a probabilidade de ocorrer no máximo 3 caras em 4 lançamentos de uma moeda é 15/16.

Explicação passo-a-passo:

Para determinar a probabilidade de ocorrer um número específico de caras em 4 lançamentos de uma moeda honesta, podemos usar a distribuição binomial.

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um evento binomial (como cara ou coroa) ocorrer em um número fixo de tentativas independentes.

A fórmula para calcular a probabilidade de X sucessos em n tentativas é dada por:

P(X=k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Onde:

- P(X=k) é a probabilidade de ocorrer k sucessos

- C(n, k) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k de cada vez

- p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa

- n é o número total de tentativas

- k é o número de sucessos desejados

Vamos calcular as probabilidades para as situações apresentadas:

a) Ocorrer exatamente 2 caras em 4 lançamentos de uma moeda.

Nesse caso, temos n = 4 (4 lançamentos) e k = 2 (2 caras).

A probabilidade de ocorrer exatamente 2 caras é dada por:

P(X=2) = C(4, 2) × (1/2)^2 × (1 - 1/2)^(4-2)

P(X=2) = 6 × (1/2)^2 × (1/2)^2

P(X=2) = 6 × 1/4 × 1/4

P(X=2) = 6/16

P(X=2) = 3/8

Portanto, a probabilidade de ocorrer exatamente 2 caras em 4 lançamentos de uma moeda é 3/8.

b) Ocorrer no máximo 3 caras em 4 lançamentos de uma moeda.

Nesse caso, queremos calcular a probabilidade de ocorrer 0, 1, 2 ou 3 caras.

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

P(X ≤ 3) = C(4, 0) × (1/2)^0 × (1 - 1/2)^(4-0) + C(4, 1) × (1/2)^1 × (1 - 1/2)^(4-1) + C(4, 2) × (1/2)^2 × (1 - 1/2)^(4-2) + C(4, 3) × (1/2)^3 × (1 - 1/2)^(4-3)

P(X ≤ 3) = 1 × 1 × (1/2)^4 + 4 × 1/2 × (1/2)^3 + 6 × 1/4 × (1/2)^2 + 4 × 1/8 × (1/2)^1

P(X ≤ 3) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16

P(X ≤ 3) = 15/16

Portanto, a probabilidade de ocorrer no máximo 3 caras em 4 lançamentos de uma moeda é 15/16.