Resposta:

Vamos começar isolando o seno da inequação:

2sen(x) > -1

Em seguida, vamos isolar o seno:

sen(x) > -1/2

Sabemos que o seno é negativo nos quadrantes III e IV, então precisamos encontrar quais são os ângulos no intervalo [0, 2π] que satisfazem a desigualdade.

No quadrante III, temos que o ângulo é π + α, onde α é um ângulo agudo. Temos que:

sen(π + α) = -sen(α)

Portanto:

-sen(α) > -1/2

Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade, temos:

sen(α) < 1/2

Isso nos leva aos seguintes ângulos:

5π/6 < α < π

No quadrante IV, temos que o ângulo é 2π - α, onde α é um ângulo agudo. Temos que:

sen(2π - α) = sen(α)

Portanto:

sen(α) > -1/2

Isso nos leva aos seguintes ângulos:

0 < α < π/6

Portanto, no intervalo [0, 2π], os ângulos que satisfazem a desigualdade são:

5π/6 < x < π ou 2π - π/6 < x < 2π

Simplificando, temos:

5π/6 < x < π ou 11π/6 < x < 2π

Portanto, a solução da inequação 2 . sen x + 1 > 0 no intervalo [0, 2π] é:

5π/6 < x < π ou 11π/6 < x < 2π