• Qual é a definição precisa de limite?

Em termos muito simples e gerais, significa que existe um limite em uma função, se houver valores "x" tão próximos de [tex]x_0[/tex] que tenham suas imagens f(x) ou valores "y" tão próximos de o limite (L).

   Problema:

Usando definição precisa de limite, determine o valor de δ quando for atribuido a algum valor ε > 0, que prova que o lim 3x - 12.

  Para resolver o problema vamos usar a definição epsilon - delta, ela diz o seguinte:

Seja [tex]f(x)[/tex] uma função definida para todo [tex]x\neq 0[/tex] em um intervalo aberto contendo [tex]a[/tex]. E seja [tex]L[/tex] um número real. Então:

                                               [tex]\boxed{ \lim_{x\to a} f(x)=L }[/tex]

Se, para todo [tex]\epsilon > 0[/tex], existe um [tex]\delta > 0[/tex], tal que se [tex]0 < |x-a| < \delta[/tex], então [tex]|f(x)-L| < \epsilon[/tex].

Agora vendo alguns exercícios semelhantes ou iguais ao seu problema, podemos dizer que x tende a 1 nesse limite e se calcularmos esse limite, confirma-se o seguinte:

                                            [tex]\boxed{\lim_{x\to 1} 3x-13=-9 }[/tex]

                  A primeira parte da definição começa com “Para todos ε > 0″. Isso significa que devemos provar que tudo o que se segue é verdadeiro, não importa qual valor positivo de ε seja escolhido. Ao indicar “Deixe ε > 0″, indicamos nossa intenção de fazê-lo.

A intenção é calcular um δ, tal que o seguinte seja cumprido se x ∈ IR e [tex]0 < |x-1| < \delta[/tex] , então [tex]|f(x)-L| < \epsilon[/tex] (isso é confirmado pela explicação usada para resolver o problema)

        Desembrulhando o problema algebricamente, obtemos o valor de δ.

                                        [tex]|(3x-12)-(-9)| < \epsilon[/tex]

       Aplicando as leis dos signos, a operação pode ser simplificada de tal forma que restaria apenas:

                                      [tex]|3x-12+9| < \epsilon[/tex]

                                         [tex]|3x-3| < \epsilon[/tex]

                                Agora manipulando a operação para simplificá-la de tal forma:

                                        [tex]|3(x-1)| < \epsilon[/tex]

                                         [tex]3|x-1| < \epsilon[/tex]

Então podemos dizer: |x - 1| < ε/3

         A partir daqui pode-se dizer que δ = ε/3 tudo porque desde o início foi dito que 0 < |x - 1| < δ então |x - 1| < ε.

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