O método de Newton é um método iterativo para aproximar raízes de equações. Para resolver a equação x^2 - 2 = 0 usando o método de Newton, podemos seguir os seguintes passos:

Escolha um valor inicial para x_0. Vamos usar x_0 = 1,00000 como você solicitou.

Calcule o valor de f(x_0) usando a equação dada: f(x_0) = x_0^2 - 2. Neste caso, f(1,00000) = 1,00000^2 - 2 = -1.

Calcule o valor de f'(x_0) usando a derivada da equação dada: f'(x_0) = 2x_0. Neste caso, f'(1,00000) = 21,00000 = 2.

Calcule o próximo valor de x usando a fórmula de atualização do método de Newton: x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0). Neste caso, x_1 = 1,00000 - (-1)/2 = 1,5.

Repita os passos 2 a 4 até que a diferença entre x_n e x_{n-1} seja menor que um valor de precisão desejado, que você chamou de epsilon. Neste caso, vamos usar epsilon = 10^-5.

O valor de x_n será a aproximação da raiz da equação dada.

Aqui está uma tabela com as iterações do método de Newton para resolver a equação x^2 - 2 = 0, começando com x_0 = 1,00000 e usando epsilon = 10^-5:

n x_n             f(x_n)           f'(x_n)

0 1,00000     -1                       2

1 1,50000     0,25000       2

2 1,41667     0,01389       2

3 1,41421     0,00002       2

4 1,41421     0,00000       2

Após a quarta iteração, a diferença entre x_n e x_{n-1} é menor que epsilon, então podemos parar as iterações. O valor de x_4 é a nossa aproximação para a raiz da equação x^2 - 2 = 0, que é sqrt(2). Portanto, o resultado da resolução da equação é x = 1,41421.