utilizando o método de Newton, resolva a equação begin mathsize 12px style x to the power of 2 space end exponent minus 2 equals 0 end style com begin mathsize 14px style epsilon equals 10 to the power of negative 5 comma end exponent end style ou seja, determinar begin mathsize 14px style square root of 2 end style , com x subscript 0 space equals space 1 comma 00000 end subscript. Realize as interações, até x subscript 2.
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O método de Newton é um método iterativo para aproximar raízes de equações. Para resolver a equação x^2 - 2 = 0 usando o método de Newton, podemos seguir os seguintes passos:
Escolha um valor inicial para x_0. Vamos usar x_0 = 1,00000 como você solicitou.
Calcule o valor de f(x_0) usando a equação dada: f(x_0) = x_0^2 - 2. Neste caso, f(1,00000) = 1,00000^2 - 2 = -1.
Calcule o valor de f'(x_0) usando a derivada da equação dada: f'(x_0) = 2x_0. Neste caso, f'(1,00000) = 21,00000 = 2.
Calcule o próximo valor de x usando a fórmula de atualização do método de Newton: x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0). Neste caso, x_1 = 1,00000 - (-1)/2 = 1,5.
Repita os passos 2 a 4 até que a diferença entre x_n e x_{n-1} seja menor que um valor de precisão desejado, que você chamou de epsilon. Neste caso, vamos usar epsilon = 10^-5.
O valor de x_n será a aproximação da raiz da equação dada.
Aqui está uma tabela com as iterações do método de Newton para resolver a equação x^2 - 2 = 0, começando com x_0 = 1,00000 e usando epsilon = 10^-5:
n x_n f(x_n) f'(x_n)
0 1,00000 -1 2
1 1,50000 0,25000 2
2 1,41667 0,01389 2
3 1,41421 0,00002 2
4 1,41421 0,00000 2
Após a quarta iteração, a diferença entre x_n e x_{n-1} é menor que epsilon, então podemos parar as iterações. O valor de x_4 é a nossa aproximação para a raiz da equação x^2 - 2 = 0, que é sqrt(2). Portanto, o resultado da resolução da equação é x = 1,41421.