X
Le Futuroscope est un parc d'attraction qui abrite
un bâtiment à l'architecture remarquable.
Il est composé d'un prisme de verre sur lequel
repose une sphère.
Voici la représentation du bâtiment vu de côté :
24 m
E on
C
Le triangle ABC est rectangle en B, le triangle
ADE en D. On donne les longueurs suivantes :
AD= 18 m, BD = 24 m et BC = 40,14 m.
On sait aussi que DF = FE=GF
40,14m
1. Justifier que (DE) est parallèle à (BC).
2. En déduire la longueur du segment [DE] puis
le rayon de la sphère. Arrondir au centième.
3. Donner le volume de la sphère. Arrondir
à l'unité.
Le Futuroscope est un parc d'attraction qui abrite
un bâtiment à l'architecture remarquable.
Il est composé d'un prisme de verre sur lequel
repose une sphère.
Voici la représentation du bâtiment vu de côté :
24 m
E on
C
Le triangle ABC est rectangle en B, le triangle
ADE en D. On donne les longueurs suivantes :
AD= 18 m, BD = 24 m et BC = 40,14 m.
On sait aussi que DF = FE=GF
40,14m
1. Justifier que (DE) est parallèle à (BC).
2. En déduire la longueur du segment [DE] puis
le rayon de la sphère. Arrondir au centième.
3. Donner le volume de la sphère. Arrondir
à l'unité.
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Réponse : 1. On sait que les triangles ABC et ADE sont rectangles en B et D respectivement. Donc, les droites (BC) et (DE) sont perpendiculaires à (AB) et (AE) respectivement, qui sont parallèles puisqu'elles sont des bases d'un prisme. Ainsi, on a (DE) || (BC).
2. Les triangles ABD et ADE sont semblables car ils ont un angle commun en A et les angles en B et D sont droits. On a donc :
AB/AD = BD/DE
Ce qui donne :
24/18 = 4/3 = BD/DE
On en déduit que DE = (3/4) x BD = 18 m.
Dans le triangle DEF, on sait que DF = FE = GF, donc ce triangle est équilatéral. Ainsi, EF = DF = GF = (1/3) x CE = (1/3) x 40,14 m = 13,38 m.
Le rayon de la sphère est donné par le rayon du cercle circonscrit au triangle DEF, qui passe par les points D, E et F. La longueur de ce rayon est donnée par la formule :
R = (DE/2) / sin(60°) = DE / (2 sin(60°)) = DE / √3
On a donc :
R = 18 / (√3 x 2) = 9√3 m ≈ 15,59 m
3. Le volume de la sphère est donné par la formule V = (4/3)πR^3. En remplaçant R par sa valeur, on obtient :
V = (4/3)π(9√3)^3 ≈ 15063 m^3
Le volume de la sphère est d'environ 15063 m^3.