Resposta:

Para determinar as raízes da função f(x) = x^2 - 4x - 5, podemos utilizar a fórmula quadrática:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Comparando a função dada com a forma geral de uma equação quadrática ax^2 + bx + c = 0, temos a = 1, b = -4 e c = -5.

Calculando a fórmula quadrática:

x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4(1)(-5))) / (2(1))

x = (4 ± √(16 + 20)) / 2

x = (4 ± √36) / 2

x = (4 ± 6) / 2

Isso nos dá duas possíveis raízes:

x1 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5

x2 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1

Portanto, as raízes da função f(x) = x^2 - 4x - 5 são x = 5 e x = -1.

Agora, para encontrar as coordenadas do vértice da função, utilizamos a fórmula:

h = -b / (2a)

k = f(h)

Substituindo os valores de a = 1 e b = -4 na fórmula:

h = -(-4) / (2(1)) = 4 / 2 = 2

Agora, encontramos k substituindo h na função f(x):

k = f(2) = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9

Assim, as coordenadas do vértice da função f(x) = x^2 - 4x - 5 são (2, -9).

O gráfico correspondente a essa função é uma parábola com concavidade para cima, tendo como vértice as coordenadas (2, -9) e cortando o eixo x nos pontos x = 5 e x = -1.