Para determinar os horários em que a temperatura é 0°C, vamos igualar a expressão t = -h² + 24h - 108 a zero e resolver a equação:

-h² + 24h - 108 = 0

Podemos fatorar essa equação:

-(h² - 24h + 108) = 0

-(h - 6)(h - 18) = 0

Portanto, as soluções para essa equação são h = 6 e h = 18. Isso significa que a temperatura é 0°C nos horários 6h e 18h.

Agora, para determinar em que período(s) do dia a temperatura é positiva ou negativa, podemos observar a concavidade da função. A expressão t = -h² + 24h - 108 é uma função quadrática com coeficiente negativo para o termo h², o que indica que a parábola é voltada para baixo.

Isso significa que a temperatura será positiva nos intervalos onde a função estiver acima do eixo x (h) e negativa nos intervalos onde a função estiver abaixo do eixo x.

Podemos encontrar o valor do vértice da parábola, que representa o ponto de mínimo da função, utilizando a fórmula h = -b / (2a), onde a é o coeficiente do termo h² e b é o coeficiente do termo h. No caso da função t = -h² + 24h - 108, temos a = -1 e b = 24.

h = -24 / (2*(-1))

h = -24 / (-2)

h = 12

O vértice da parábola está no ponto (12, t), e como a concavidade é voltada para baixo, a temperatura será positiva antes de 12h e após 12h, e negativa entre 6h e 18h.

Portanto, podemos concluir:

a) A temperatura é 0°C nos horários 6h e 18h.

b) A temperatura é positiva antes de 6h, após 18h e negativa entre 6h e 18h.