1. Decida se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique provando ou mostrando um contraexemplo.
(a) A soma de dois números irracionais é sempre irracional.
(b) A soma de um número racional e um número irracional é sempre irracional.
(a) A soma de dois números irracionais é sempre irracional.
(b) A soma de um número racional e um número irracional é sempre irracional.
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Resposta:
(a) Verdadeira.
Uma soma de dois números irracionais é sempre irracional, pois ambos os números não podem ser escritos como uma fração de inteiros. Por exemplo, a soma de √2 e √3 é √6, que é também um número irracional. Não é possível representar esse número como uma fração de inteiros.
(b) Falsa.
A soma de um número racional e um número irracional pode ser racional ou irracional. Por exemplo, a soma de √2 (irracional) e 2 (racional) é 2 + √2, que é irracional. Entretanto, a soma de √2 (irracional) e 1 (racional) é √2 + 1, que é racional (3^1/2). Portanto, é falsa a afirmação de que a soma de um número racional e um número irracional é sempre irracional.