Bonjour pouvez vous m'aider ?
EXERCICE 3: /10 points (1+1+3+ 1,5 + 2 + 1,5) Une pièce rectangulaire a pour dimensions 0,5x et 10-x, ces dimensions étant exprimées en mètres. a. Quelle est la valeur maximale de x? Sa valeur minimale ? Justifie. b. Prouve que l'aire Alr) de cette pièce vaut A(x) = - 0,5x² + 5x m². c. Reproduis et complète le tableau suivant : Aire Acr) de la pièce (m²) 0 2 6 8 10- 10 0,5x d. D'après ce tableau, quelle est l'image de 6 par la fonction A ? Quels sont les antécédents de 8 ? e. Sur ta copie, représente les valeurs de ce tableau dans un repère, en prenant pour unités : 1 cm pour 1 m sur l'axe des abscisses, et 1 cm pour 1 m² sur l'axe des ordonnées. f. D'apre se graphique, pour quelle valeur de x l'aire A(x) de la pièce est-elle maximale ? Détervie par le calcul l'aire maximale de cette pièce.
EXERCICE 3: /10 points (1+1+3+ 1,5 + 2 + 1,5) Une pièce rectangulaire a pour dimensions 0,5x et 10-x, ces dimensions étant exprimées en mètres. a. Quelle est la valeur maximale de x? Sa valeur minimale ? Justifie. b. Prouve que l'aire Alr) de cette pièce vaut A(x) = - 0,5x² + 5x m². c. Reproduis et complète le tableau suivant : Aire Acr) de la pièce (m²) 0 2 6 8 10- 10 0,5x d. D'après ce tableau, quelle est l'image de 6 par la fonction A ? Quels sont les antécédents de 8 ? e. Sur ta copie, représente les valeurs de ce tableau dans un repère, en prenant pour unités : 1 cm pour 1 m sur l'axe des abscisses, et 1 cm pour 1 m² sur l'axe des ordonnées. f. D'apre se graphique, pour quelle valeur de x l'aire A(x) de la pièce est-elle maximale ? Détervie par le calcul l'aire maximale de cette pièce.
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a. Pour déterminer la valeur maximale de x, nous devons maximiser l'expression 0,5x(10−x)0,5x(10−x). Pour ce faire, trouvons le point critique en dérivant par rapport à x et en égalant à zéro :
ddx(0,5x(10−x))=0dxd(0,5x(10−x))=0
En dérivant et simplifiant, on obtient :
0,5(10−2x)=00,5(10−2x)=0
En résolvant pour x, on trouve x=5x=5. Cela correspond à un point critique. Pour déterminer si c'est un maximum, un minimum ou un point d'inflexion, nous pouvons utiliser le test de la dérivée seconde. La dérivée seconde est −1−1, ce qui est négatif, donc le point critique x=5x=5 est un maximum local.
Pour la valeur minimale de x, les dimensions de la pièce ne peuvent pas être négatives, donc xx ne peut pas être supérieur à 10 ni inférieur à 0. Par conséquent, la valeur minimale de xx est 0.
b. Pour prouver que l'aire A(x)A(x) de cette pièce est A(x)=−0,5x2+5xA(x)=−0,5x2+5x, nous multiplions les dimensions de la pièce : A(x)=0,5x(10−x)A(x)=0,5x(10−x), puis simplifions l'expression.
c. Le tableau complété est le suivant :
x 0 2 6 8 10. A(x)0 16 18 16 0
d. D'après le tableau, l'image de 6 par la fonction AA est A(6)=18A(6)=18. Les antécédents de 8 sont x=2x=2 et x=8x=8.
e. Représentons les valeurs dans un repère en utilisant les unités spécifiées :
x 0 2 6 8 10 A(x) 0 16 18 16 0
f. D'après le graphique, on peut voir que l'aire A(x)A(x) est maximale lorsque x=6x=6. Pour confirmer cela par le calcul, nous pouvons utiliser le point critique trouvé précédemment (x=5x=5) et les points de changement de concavité (x=0x=0 et x=10x=10). En évaluant A(x)A(x) à ces points, nous constatons que l'aire est maximale lorsque x=6x=6, avec A(6)=18A(6)=18 m².