Bonjour ;

La fonction x ---> ln(1 + x) est définie sur ]- 1 ; + ∞ [ .

Soit la fonction f définie sur ]- 1 ; + ∞[ par : f(x) = ln(1 + x) - x .

La fonction f est continue sur ]- 1 ; + ∞[  comme somme de fontions

continues sur ]- 1 ; + ∞[ .

La fonction f est dérivable sur ]- 1 ; + ∞[  comme somme de fontions

dérivables sur ]- 1 ; + ∞[ .

f ' (x) = (ln(1 + x) - x) ' = 1/(1 + x) - 1 = (1 - 1 - x)/(1 + x) = - x/(1 + x) .

Comme x ∈ ]- 1 ; + ∞[ alors 1 + x > 0 , alors f ' est du signe opposé de x ;

donc f ' est positive pour x ∈ ]- 1 ; 0[ et négative pour x ∈ ]0 ; + ∞[ ;

On a f(0) = ln(1 + 0) - 0 = 0 ; donc d'après le tableau de variation

ci- joint : ∀ x ∈ ] - 1 ; + ∞ [ ; f(x) ≤ 0 ;

donc : ∀ x ∈ ] - 1 ; + ∞ [ ; ln(1 + x) - x ≤ 0 ;

donc : ∀ x ∈ ] - 1 ; + ∞ [ ; ln(1 + x)  ≤ x .

Réponse :

Explications étape par étape

■ Ln(1+x) ≤ x ?

   dérivée de Ln(1+x) = 1/(1+x) toujours positive sur l'intervalle ] -1 ; +∞ [

■ tableau :

       x -->   -1   -1+   -0,5    0       1          9         99      +∞

Ln(1+x) ->   ║   -∞  -0,69   0    0,69      2,3      4,6      +∞  

■ le seul point de contact entre les deux courbes est l' origine du repère !

   on a bien Ln(1+x) ≤ x .

■ remarque :

   sur l' intervalle [ + 1 ; +∞ [ ; on aurait Ln(1+x) < x ( inégalité stricte ! ) .