Pour chacun des cas, nous allons déterminer une expression de la fonction polynôme du second degré f représentée par la parabole.

La forme générale d'une fonction polynôme du second degré est : f(x) = ax^2 + bx + c.

a) P a pour sommet S(3,1) et passe par le point A(1,9).

Comme le sommet de la parabole est (3,1), nous pouvons utiliser la forme canonique de la fonction polynôme du second degré : f(x) = a(x-h)^2 + k, où (h,k) est le sommet de la parabole. Dans ce cas, f(x) = a(x-3)^2 + 1.

Nous savons que la parabole passe par le point A(1,9). Utilisons ces coordonnées pour déterminer la valeur de a :

9 = a(1-3)^2 + 1

9 = a(-2)^2 + 1

8 = 4a

a = 2

Donc, l'expression de la fonction polynôme du second degré est : f(x) = 2(x-3)^2 + 1.

b) La parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 3 et 6 et passe par le point C(7,-4).

Comme la parabole coupe l'axe des abscisses aux points (3,0) et (6,0), nous pouvons utiliser la forme factorisée de la fonction polynôme du second degré : f(x) = a(x-3)(x-6).

Nous savons que la parabole passe par le point C(7,-4). Utilisons ces coordonnées pour déterminer la valeur de a :

-4 = a(7-3)(7-6)

-4 = a(4)(1)

a = -1

Donc, l'expression de la fonction polynôme du second degré est : f(x) = -(x-3)(x-6).

c) La parabole passe par les points A(1, 8), B(-1, 6) et C(2, 0).

Nous avons trois points et la forme générale de la fonction polynôme du second degré est f(x) = ax^2 + bx + c. Utilisons ces points pour déterminer les valeurs de a, b et c en résolvant un système d'équations linéaires :

8 = a(1)^2 + b(1) + c

6 = a(-1)^2 + b(-1) + c

0 = a(2)^2 + b(2) + c

Ce système d'équations linéaires peut être résolu en trouvant les valeurs de a, b et c. En résolvant ce système, on obtient a = -2, b = 4 et c = 6.

Donc, l'expression de la fonction polynôme du second degré est : f(x) = -2x^2 + 4x + 6.