Equação diferencial
Algum professor para ajudar eu nao sei se é 2e^3t + 11t e^-3t + 1/12 t^4e^3t ou 2e^3t + 11t e^3t + 1/12 t^4e^3t
Algum professor para ajudar eu nao sei se é 2e^3t + 11t e^-3t + 1/12 t^4e^3t ou 2e^3t + 11t e^3t + 1/12 t^4e^3t
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Resolvendo a equação diferencial dada e, em seguida adicionando os dados do problema de contorno, concluímos que a resposta correta á e alternativa B.
Problemas de valor de contorno
O problema listado na questão proposta é conhecido como problema de valor de contorno. Nesse caso, primeiro devemos resolver a equação diferencial e depois adicionar as informações sobre o valor da função e de sua derivada para determinar as constantes.
A equação diferencial [tex]y''-6y'+9y=t^2e^{3t}[/tex] possui homogênea associada dada por [tex]y''-6y'+9y=0[/tex], a qual pode ser resolvida encontrando as raízes da equação característica:
[tex]c^2 - 6c + 9 = 0\\c_{1,\:2}=\frac{-\left(-6\right)\pm \sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:9}}{2\cdot \:1}\\c_{1,\:2}=\frac{-\left(-6\right)\pm \sqrt{0}}{2\cdot \:1}\\c=\frac{-\left(-6\right)}{2\cdot \:1}\\c = 3[/tex]
Como a raiz é repetida, temos que a solução é dada por [tex]y=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}[/tex]. Agora devemos determinar uma solução particular da equação diferencial [tex]y''-6y'+9y=t^2e^{3t}[/tex]. Observando o modelo da função do lado direito da igualdade e que a ordem maior de derivada que aparece na equação é igual a 2, temos que a solução segue o modelo [tex]Ax^4e^{3t}[/tex], logo:
[tex]y''-6y'+9y=t^2e^{3t}\\\left(At^4e^{3t}\right)''-6\left(At^4e^{3t}\right)'+9\left(At^4e^{3t}\right)=t^2e^{3t}\\ A\left(9e^{3t}t^4+24e^{3t}t^3+12e^{3t}t^2\right) -6 A\left(4t^3e^{3t}+e^{3t}\cdot \:3t^4\right) +9At^4 e^{3t} = t^2 e^{3t}\\12Ae^{3t}t^2 = t^2 e^{3t}\\A = 1/12[/tex]
Com essa informação podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada na questão:
[tex]y=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}+\frac{e^{3t}t^4}{12}[/tex]
Agora basta adicionar as informações dos valores da derivada e da função no ponto 0:
[tex]y=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}+\frac{e^{3t}t^4}{12}\\y'=c_1e^{3t}\cdot \:3+c_2\left(e^{3t}+3e^{3t}t\right)+\frac{1}{12}\left(e^{3t}\cdot \:3t^4+4t^3e^{3t}\right)[/tex]
[tex]y(0) = c_1 \\y'(0) = 3c_1 + c_2[/tex]
[tex]c_1 = 2\\3c_1 +c_2 = 17[/tex]
[tex]c_1 = 2\\c_2 = 11[/tex]
Concluímos que a solução do problema de contorno é dada por:
[tex]2e^{3t}+11te^{3t}+\frac{e^{3t}t^4}{12}[/tex]
Para mais informações sobre equações diferenciais, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/55367280
#SPJ1