Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

2)

a)

Les triangles ATM et ABM sont égaux. En effet :

-->Ils sont rectangles , l'un en T , l'autre en B.

-->Ils ont leur hypoténuse commune : [AM].

-->Ils on un côté de l'angle droit égal : AB=AT ( rayons ).

Donc l'autre côté de l'angle droit est égal : MT=MB=x.

b)

De la même manière, en considérant les triangles ADN et ATN , on montre que :

TN=ND=y

Or : MN=MT+TN donc :

MN=x+y

c)

Dans le triangle MCN, rectangle en C , Pythagore :

MN²=CM²+NC²=(1-x)²+(1-y)²

Mais MN=x+y donc :

(x+y)²=(1-x)²+(1-y)²

x²+2xy+y²=1-2x+x²+1-2y+y²

2xy=1-2x+1-2y

2xy=2-2x-2y

xy=1-x-y

xy+y=1-x

y(x+1)=1-x

y=(1-x)/(x+1)

MN=x+y=x + (1-x)/(x+1)

MN=[x(x+1)+(1-x)] /(x+1)

MN=(x²+1)/(x+1)

d)

f(x)=(x²+1)/(x+1) de la forme  u/v avec :

u=x²+1 donc u '=2x

v=x+1 donc v '=1

f '(x)=[2x(x+1)-(x²+1)] / (x+1)²

f '(x)=(x²+2x-1) / (x+1)²

f '(x) est du signe de x²+2x-1 qui est < 0 entre les racines.

Tu les calcules et tu trouves :

x1=-1-√2 et x2=-1+√2

Tu fais un tableau de variation sur [0;1] :

x------------->0....................-1+√2................................1

f (x)----------->............-.............0.............+.....................

f(x)----------->...........D..............?.............C.................

D=flèche qui descend

C=flèche qui monte.

Donc MN minimal pour MT=MB= -1+√2

Tu places donc d'abord M tel que MB=-1+√2 puis tu traces le cercle de diamètre [AM] : il coupe le 1/4 de cercle de la figure de départ en T.