Réponse :

1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4

Explications étape par étape

soit (u) la suite de la 1ère colonne

u(0)=1 ; u(1)=3=1+2 ; u(2)=7=1+2+4 ; ...

donc u(n)=1+2+4+6+...+2n=1+2(1+2+3+...+n)=1+2(n(n+1))/2=n²+n+1

soit (v) la suite de la diagonale

v(0)=1 ; v(1)=5=1+4 ; v(2)=1+4+6=11 ; ...

donc v(n)=1+4+6+8+...+2(n+1)=1+2(2+3+4+...+n+1)=1+2((n+1)(n+2)/2-1)=n²+3n+1

soit (w) la suite de la somme de chque rangée

w(0)=1 ; w(1)=8=3+5 ; w(2)=27=7+9+11 ; ...

donc w(n)=(n+1)³

de plus la somme de toutes les rangées correspond à la somme des impairs

soit w(0)=1 ; w(0)+w(1)=1+3+5 ; w(0)+w(1)+w(2)=1+3+5+7+9+11 ; ...

donc ∑ w(k)=∑ (2k+1)

or 1+3=2² ; 1+3+5=3² ; 1+3+5+7=4² ; ...

donc 1+3+5+7+...+(2k+1)=(k+1)²

donc ∑ (k+1)³=( ∑ (k+1) )² donc ∑ k³ = (∑ k)² =(n(n+1)/2)²

soit encore 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²=n²(n+1)²/4