On considère la fonction définie sur • R par: f(x) = (x ^ 4)/4 - (2x ^ 3)/3 - (x ^ 2)/2 + 2x - 11
b. Montrer que, pour tout réel x, on a : f' (x) = (x - 1)(x ^ 2 - x - 2)
2. Étudier le signe de f'
3. En déduire le tableau des variations de f.
b. Montrer que, pour tout réel x, on a : f' (x) = (x - 1)(x ^ 2 - x - 2)
2. Étudier le signe de f'
3. En déduire le tableau des variations de f.
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f'(x) = (x^4/4 - 2x^3/3 - x^2/2 + 2x - 11)' = x^3 - 2x^2 - x + 2.
Maintenant, factorisons cette expression :
f'(x) = x(x^2 - 2x - 1) + 2(x - 1).
Nous pouvons simplifier davantage :
f'(x) = x(x - 1)(x + 1) + 2(x - 1).
En regroupant les termes communs, nous obtenons :
f'(x) = (x - 1)(x(x + 1) + 2).
Nous pouvons simplifier l'expression à la fin :
f'(x) = (x - 1)(x^2 + x + 2).
2. Pour étudier le signe de f', nous allons examiner les signes des facteurs dans l'expression f'(x). Nous avons deux facteurs à considérer :
a. Le facteur (x - 1).
b. Le facteur (x^2 + x + 2).
a. Le facteur (x - 1) est positif si x > 1 et négatif si x < 1.
b. Le facteur (x^2 + x + 2) est toujours positif, car le discriminant de ce trinôme est négatif (D < 0).
Donc, en combinant les signes des deux facteurs, f'(x) est positif lorsque x > 1 et négatif lorsque x < 1.
3. Maintenant, en utilisant les signes de f', nous pouvons construire le tableau des variations de f :
- f'(x) est positif lorsque x > 1, donc la fonction f(x) est croissante sur l'intervalle (1, +∞).
- f'(x) est négatif lorsque x < 1, donc la fonction f(x) est décroissante sur l'intervalle (-∞, 1).
En résumé, la fonction f(x) est croissante sur l'intervalle (1, +∞) et décroissante sur l'intervalle (-∞, 1)