On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;+&[ par f(x)=3xe^-0,4x. La fonction dérivée de la fonction f est notée f'.
1a) Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f est f'(x) = (-1,2x+3)e^-0,4X
b) Déterminer le signe de f sur l'intervalle [0,+&[
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;+&[
2) Un sportif a pris un produit dopant. La fonction f modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif x heures après la prise
a) Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n'est pas naturellement présent dans l'organisme du sportif?
b) Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif? c)Le sportif absorbe ce produit dopant au début d'une séance d'entrainement. Le même jour, 6 heures après le début de cette séance d'entrainement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l'organisme de ce sportif dépasse 1,4mg/L.
Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif? Justifier.
Merci d'avance.
1a) Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f est f'(x) = (-1,2x+3)e^-0,4X
b) Déterminer le signe de f sur l'intervalle [0,+&[
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;+&[
2) Un sportif a pris un produit dopant. La fonction f modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif x heures après la prise
a) Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n'est pas naturellement présent dans l'organisme du sportif?
b) Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif? c)Le sportif absorbe ce produit dopant au début d'une séance d'entrainement. Le même jour, 6 heures après le début de cette séance d'entrainement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l'organisme de ce sportif dépasse 1,4mg/L.
Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif? Justifier.
Merci d'avance.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONSOIR !
■ f(x) = 3x e^(-0,4x) sur IR+
■ dérivée f ' (x) = 3 e^(-0,4x) - 1,2x e^(-0,4x)
= (3 - 1,2x) e^(-0,4x) .
cette dérivée est POSITIVE pour 3 - 1,2x > 0
1,2x < 3
x < 2,5 .
la fonction f est donc décroissante pour x > 2,5 .
■ tableau :
x --> 0 0,39 0,99 2,5 5,o7 7,92 10,3 +∞
f ' (x) --> 3 POSITIVE 0 -0,4o6 négative
f(x) --> 0 1 2 2,76 2 1 0,5 0
■ utilisation pour le dopage :
on en a zéro au départ --> le produit n' est pas
présent dans l' organisme !
concentration maxi ( 2,76 mg/L ) après 2 h 30 min
concentration après 6 heures : 1,63 mg/L > 1,4 mg/L
↓
contrôle POSITIF !